Джо Боулер - Математическое мышление

• выбранные методы: «Почему вы использовали эти методы? Как они работают?»

Когда ученики работают над открытыми задачами, они не только воспринимают математику как развивающую дисциплину, но и становятся исследователями. Они больше не ищут ответ; они анализируют идеи, устанавливают связи, развиваются и учатся. В процессе исследований они изучают формальную математику — методы и формулы, знания которых требует стандартная учебная программа. Разница в том, что они изучают стандартные методы, когда в них возникает необходимость, что пробуждает мотивацию и заинтересованность в изучении этих методов (Schwartz & Bransford, 1998). Как я уже подчеркивала, лучшие открытые задачи по математике — те, которые относятся к категории «низкий пол, высокий потолок» (см. сборник задач на сайте YouCubed — http://www.youcubed.org/tasks). На мой взгляд, чтобы понять, является ли задача открытой, нужно задать важный вопрос: обеспечивает ли она пространство для обучения?

Математики считают свою дисциплину творческой, красивой и эстетичной. Все дети могут работать так же, как математики, поэтому стимулирование их к тому, чтобы стать мини-математиками, может придать им уверенность в себе. Важно, чтобы ученики активно предлагали идеи — выдвигали математические гипотезы. Дебора Болл, которая сейчас занимает должность декана педагогического факультета Мичиганского университета, — одна из самых удивительных учительниц, с которыми я когда-либо встречалась. Дебора учила своих третьеклассников быть математиками: становиться исследователями и выдвигать гипотезы. Выработав единое мнение по поводу той или иной математической концепции, ученики ее класса говорили, что у них есть «рабочее определение», а затем уточняли его в рамках дальнейших исследований. Во время одного урока мальчик Шон выдвинул предложение по поводу числа 6, заявив, что оно может быть и четным, и нечетным (видео можно посмотреть здесь: Mathematics Teaching and Learning to Teach, 2010; http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65013).

Основанием для этой гипотезы послужило то, что число 6 состоит из нечетного количества чисел 2, а другие четные числа, например 4 и 8, имеют в своем составе четное количество чисел 2. Многие ученики вступили в спор с Шоном, вернувшись к рабочему определению четного числа, которое было выработано классом. Большинство учителей сказали бы Шону, что он неправ, и пошли дальше, но Дебору заинтересовал ход его мыслей. Среди учеников началась оживленная дискуссия, которая захватила зрителей с разным образованием и убеждениями, в том числе учителей и математиков. Во время урока дети начали глубоко анализировать гипотезу Шона и ни разу не попросили учительницу сказать им, прав Шон или нет, что сразу же положило бы конец обсуждению. Третьеклассники попросили Шона доказать свою гипотезу и предложили контраргументы, воспользовавшись разными определениями четного числа, чтобы показать Шону, что 6 — только четное число, которое не может быть нечетным. В какой-то момент Дебора поняла, что Шон обратил внимание на такое свойство числа 6 и других чисел (таких, как 10), состоящих из нечетного количества двоек, у которого нет названия в математике. В итоге класс решил назвать такие числа «числами Шона». Шон сделал наблюдение, которое не было неправильным; он обратил внимание на то, что у некоторых чисел есть особые свойства. Во время дальнейших дискуссий в течение года ученики этого класса продолжали исследовать числа и ссылались на «числа Шона», когда встречали их. В отличие от многих третьеклассников, которых отталкивает процедурное представление математики, этим детям нравилась возможность делиться своими идеями, а также выдвигать гипотезы, при этом изучая формальную математику. Эти ученики с воодушевлением работали с гипотезами, рассуждениями и доказательствами и напоминали стороннему наблюдателю юных ученых (Ball, 1993).

Некоторых людей шокирует мысль о том, чтобы называть детей математиками, хотя они спокойно называют их юными художниками и учеными. А дело в том, что математика поставлена на своего рода пьедестал, о чем я говорила в главе 6. Нам необходимо бороться с представлением о том, что только люди, много лет изучавшие математику в высших учебных заведениях, должны выступать в качестве математиков. Мы должны прекратить оставлять опыт взаимодействия с истинной математикой на самый последний период обучения, магистратуру. Ведь к этому моменту многие теряют интерес к математике. Не существует более эффективного способа донести до всех мысль о том, что математика — широкая, исследовательская дисциплина, которой могут заниматься все без исключения, чем предложить детям стать математиками.

Преподавайте математику как науку о закономерностях и связях

Суть математики сводится к изучению закономерностей. Многие понимают, что имеют дело с закономерностями, работая над такими задачами, как на рис. 9.3, в которых им предлагают продолжить закономерность.

Рис. 9.3.Полоса закономерности

Но даже в процессе изучения арифметики или более абстрактных областей математики работа любого ученика сводится к поиску закономерностей. Я пыталась стимулировать своих детей к тому, чтобы они воспринимали себя как искателей закономерностей, и недавно увидела результат, когда моя восьмилетняя дочь осваивала азы деления. Она только что изучила «традиционный алгоритм», но потом ей задали такие примеры:

Она пришла к выводу, что алгоритм применим только в некоторых случаях. Поработав над заданиями, моя дочь сказала: «Вижу закономерность; метод цикла деления [под которым она подразумевала традиционный алгоритм] помогает только тогда, когда делимое больше делителя». Я не сторонник обучения делению с помощью традиционного алгоритма: часто он не позволяет ученикам увидеть ситуацию в целом и препятствует пониманию значения разряда. Но меня порадовало то, что ориентация на поиск закономерностей помогла моей дочери размышлять о закономерностях, а не слепо придерживаться метода. Я не утверждаю, что традиционный алгоритм бесполезен. Но он может принести пользу после того , как ученики поймут, что есть много стратегий деления. Изучая деление, ученики должны использовать методы, стимулирующие осмысление чисел, участвующих в операции, и самой концепции деления.

Когда учителя объясняют математические методы, на самом деле они показывают закономерности: демонстрируют нечто постоянное, общее . Когда мы умножаем на 10 любое число больше 1, ответ обязательно содержит 0. Когда мы делим длину окружности на ее диаметр, мы всегда получаем число π. Все это закономерности. Когда ученикам предлагают воспринимать математику как науку о закономерностях, они испытывают воодушевление по отношению к этому предмету. Кроме того, им можно предложить поразмышлять о характере закономерностей: «Можете ли вы обобщить этот случай?» Кит Девлин, ведущий математик и «математический человек» Национального общественного радио, написал ряд замечательных книг для широкого круга читателей. В одной из моих любимых книг «Математика: наука о закономерностях» Девлин показывает, что работа математиков сводится к использованию и изучению закономерностей, проистекающих из того, что он называет окружающим миром или человеческим разумом. Девлин цитирует великого математика Уолтера Сойера: «Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей», а закономерности включают в себя «любую регулярность, которую может распознать разум». Девлин соглашается с этим, утверждая: «Суть математики — не числа, а жизнь. Это мир, в котором мы живем. Это идеи. Будучи отнюдь не бессодержательной и стерильной, какой ее часто изображают, она наполнена творчеством» (Devlin, 2001).