Джо Боулер - Математическое мышление

Вместо того чтобы говорить ученикам, что они умные или способные, учителя и родители должны сосредоточиться на конкретных стратегиях, которые использовали дети. Вместо слов «Какой ты умный» лучше сказать что-то вроде: «Замечательно, что ты до этого додумался» или «Мне нравятся твои рассуждения». Исключить слово «умный» из лексикона трудно, но мои студенты хорошо поработали над этим и теперь хвалят людей за интересные идеи, достижения, знания, трудолюбие и настойчивость.

Когда ученики неправильно выполняют работу, вместо того чтобы говорить «Это неправильно», попытайтесь понять ход их мыслей и поработайте с ними. Например, если, сложив 1/ 3и 1/ 4, ученики решили, что ответ 2/ 7, вы могли бы сказать: «Понимаю, что ты делаешь; ты используешь то, что мы знаем о сложении целых чисел, чтобы сложить числитель и знаменатель. Но это дроби, а при сложении дробей мы должны думать о всей дроби, а не об отдельных числах, из которых она состоит». В рассуждениях учеников всегда есть какая-то логика, которую полезно найти — не для того, чтобы предотвратить мысли о неудаче, а для того, чтобы отдать должное размышлениям учеников. Даже если дети неправильно выполнили задание, постарайтесь не дать им понять, что задача слишком сложна для них: они могут решить, что у них ограниченные способности. Вместо того чтобы фокусироваться на стратегиях, скажите что-нибудь вроде: «Ты еще не знаешь стратегий, необходимых для этого, но скоро изучишь их».

Важно не предлагать ученикам слишком много помощи и не снижать когнитивную сложность задач. Французский исследователь Ги Бруссо обнаружил «дидактический контракт», существование которого признали с тех пор учителя и исследователи во всем мире (Brousseau, 1984; Brousseau, 1997). Бруссо описывает типичную для уроков математики ситуацию, когда ученики просят учителей о помощи. Они рассчитывают на помощь, а учителя знают, что их задача — помогать детям; в итоге учителя разбивают задачу на составляющие и упрощают ее, снижая ее когнитивную сложность. Бруссо обращает внимание на то, что это совместное действие учителей и учеников, поскольку обе стороны играют отведенную им роль, выполняя действующий на уроках «дидактический контракт», из-за которого ученики упускают возможность чему-то научиться. Согласно такому контракту, ученики ожидают, что им не будут создавать трудностей, и рассчитывают на помощь, а учителя знают, что их задача — помогать ученикам, поэтому немедленно вмешиваются, часто невольно лишая детей возможности учиться. Авторы учебников поступают так же, разбивая задачи на небольшие фрагменты, над которыми должны работать ученики. Когда мои ученики просят о помощи, я стараюсь не выполнять за них математические размышления. Я часто предлагаю им представить задачу в графическом виде, что всегда помогает открыть новые идеи.

Недавно я прочла об учительнице второго класса Наде Бориа, которая предлагает такой ответ на просьбы учеников о помощи: «Минутку. Вы хотите, чтобы вырос мой мозг, или хотите увеличить свой?» (Frazier, 2015).

Замечательный ответ. Учителя должны оценивать каждое взаимодействие с учениками, руководствуясь своими профессиональными знаниями и интуицией, чтобы понять, когда те способны преодолеть больше трудностей, не испытывая разочарования. Но важно помнить, что отсутствие помощи — зачастую лучшая помощь.

Правила, которые мы устанавливаем для учеников на уроках, способы, которыми мы помогаем им и поощряем их, и сигналы, которые мы им подаем, крайне важны. Но мне хотелось бы обратить особое внимание на то, что подача ученикам сигналов в отношении мышления роста не поможет им, если при этом мы не покажем, что математика — развивающая дисциплина. Далее мы сфокусируемся на стратегиях и методах, которые учителя могут использовать, чтобы преподавать ученикам открытую, развивающую, творческую математику.

Преподавайте математику как открытую, развивающую, обучающую дисциплину

Большинство задач по математике, которые используются на уроках и дома, — узкие процедурные вопросы, требующие от учеников выполнения вычислений. Когда ученики б о льшую часть времени занимаются этим, им трудно поверить в то, что математика — развивающая дисциплина. Ведь закрытые вопросы заставляют их думать, что она носит фиксированный характер и ее суть сводится к правильным и неправильным ответам. Некоторые вопросы действительно требуют одного правильного ответа, но они не нужны ученикам для полноценного понимания математики. Если они все же используются, они должны составлять только малую долю всех вопросов. Задачи по математике должны обеспечивать ученикам достаточно пространства для обучения. Вместо того чтобы требовать ответов на вопросы, задачи должны предоставлять им возможность исследовать, творить и развиваться.

Любую математическую задачу можно сделать открытой, и тогда гораздо больше учеников проявят к ней интерес и смогут узнать что-то новое. Ниже описаны четыре полезных приема.

1. Вместо того чтобы предлагать ученикам найти ответ на вопрос, чему равно 1/ 2разделить на 1/ 4, предложите им предположить, сколько будет 1/ 2разделить на 1/ 4, и придать ответу смысл, в том числе с помощью визуального представления решения. Как было сказано в главе 5, когда Кэти Хамфриз предложила ученикам решить задачу «1 разделить на 2/ 3», она начала с таких слов: «Вероятно, вы знаете правило, с помощью которого можно решить эту задачу, но сегодня оно не имеет значения. Я хочу, чтобы вы объяснили, почему ваше решение имеет смысл ».

2. Вместо того чтобы предлагать ученикам упростить выражение 1/ 3(2 x + 15) + 8 (типичная задача, которую ставят на уроках алгебры), предложите им найти все эквивалентные способы представления этого выражения. На рисунке 9.2 приведены примеры ответов.

3. Вместо того чтобы спрашивать учеников, сколько квадратов будет на шаге 100, спросите их, как они представляют себе рост закономерности, и предложите им использовать это понимание для обобщения закономерности до шага 100 (рис. 9.1).

Рис. 9.1.Примеры алгебраических выражений

Рис. 9.2.Ступеньки

Любую математическую задачу можно открыть так, чтобы она обеспечивала ученикам больше пространства для обучения (подробнее см. главу 5). Например, вы можете предложить ученикам обсудить:

• способы восприятия математики;

• способы представления идей;

• различные пути решения задач и реализации стратегий;