Джо Боулер - Математическое мышление

Понимание дробей тоже можно улучшить, предложив ученикам представить их с помощью цветового кодирования (см. пример 9.6 и рис. 9.5).

Сэм испек шоколадный пирог, который хочет разрезать на 24 равные части. Он намерен разделить пирог поровну со своими пятью друзьями. Разделите пирог на части и воспользуйтесь методом цветового кодирования, чтобы показать, сколько кусочков пирога получат Сэм и его друзья.

Рис. 9.5.Решение задачи с пирогом Сэма (пример 9.6)

Мне особенно нравится подход к цветовому кодированию деления, который разработали Тина Лаптон, Сара Пратт и Керри Ричардсон. Он состоит в том, чтобы предлагать всем ученикам решать задачи на деление с помощью «лоскутного одеяла», которое действительно помогает представить себе и понять разделение чисел на равные группы и остатки (рис. 9.6). Более подробное описание способов организации этого полезного вида деятельности см.: Lupton, Pratt, & Richardson, 2014.

Рис. 9.6.Лоскутные одеяла деления

Источник: Lupton, Pratt, & Richardson, 2014.

Представление математических концепций разными способами — важная математическая практика, которую применяют специалисты по решению задач высокого уровня. Математики используют разные способы представления концепций — графики, таблицы, текстовое описание, выражения, а также (реже) рисунки и наброски. Мариам Мирзахани так описывает процесс размышлений над сложной математической задачей.

Не нужно записывать все детали… Но процесс рисования как-то помогает представить себе картину происходящего.

Мариам сказала, что ее трехлетняя дочь Анахита часто восклицает: «О, мамочка снова рисует!» — когда видит свою маму-математика за работой. «Может, она думает, что я художник?» (Klarreich, 2014).

Каждый раз, когда мне приходится решать сложную математическую задачу, я рисую ее; это лучший из известных мне способов решить трудную задачу и понять концепции, лежащие в ее основе. Работая с учениками, я предлагаю им представить задачу в графическом виде, когда у них возникают трудности; при этом я задаю им вопрос: «Вы пробовали нарисовать эту задачу?» Ученикам, которые не привыкли рисовать задачи, поначалу трудно, но они могут освоить этот метод, и он будет приносить им пользу. В главе 5представлено больше идей по поводу способов, позволяющих увлечь учеников представлением математических задач в виде рисунков.

Поощряйте интуицию и свободу мысли

В главе 5идет речь о том, как пользователи математики высокого уровня (такие, как Себастьян Трун, создающий роботы для Смитсоновского института) применяют интуицию для развития математических идей. Леоне Бертон провела интервью с 70 математиками-исследователями, чтобы определить характер их работы; 58 из них говорили о важной роли интуиции в этой работе. В книге «Что же такое математика?» Рубен Херш говорит о том, что «интуиция в математике повсюду» (Hersh, 1999).

Но что такое интуиция? И почему математики полагаются на нее, а ученики почти никогда не делают этого на уроках? Учителя могут стимулировать учеников к применению интуиции при решении любой математической задачи, предложив им подумать, как можно найти ответ, прежде чем объяснять им соответствующий метод. Возможности для интуитивного мышления можно использовать на всех уровнях изучения математики. Учителя начальной школы могут еще до объяснения материала предложить ученикам найти свой метод решения задачи. Например, спросить, как найти площадь коврика, до того как давать формулу площади. В средних или старших классах можно спросить учеников, как вычислить высоту объектов, которые слишком высоки, чтобы просто измерить их, прежде чем объяснять возможные методы решения этой задачи (Boaler, Meyer, Selling, & Sun, б/д). В главе 1шла речь об уроке по началам анализа, на котором ученикам еще до объяснения теории предложили выдвинуть предположение и интуитивно поразмышлять над поиском объема лимона. И чтобы применить этот прием, не нужно почти ничего менять в методе преподавания.

Предлагая ученикам воспользоваться интуицией в процессе размышлений над математической концепцией, им предоставляют возможность мыслить открыто и свободно. Когда я спросила группу третьеклассников, которые изучали материал по математике в рамках разговоров о числах, что они думают об этом методе, мальчик Дилан сказал мне: «Ты свободен, ты можешь делать все, что захочешь. Ты можешь взять числа и разделить их на группы». Делия, одна из учениц, снимавшихся в фильме «Сверх меры» (втором документальном фильме режиссера фильма «Гонка в никуда»), аналогичным образом описывала свой опыт после того, как она начала заниматься математикой, основанной на исследованиях: «У меня есть связь с математикой, я открыта, я чувствую себя живой, у меня больше энергии». В том же фильме Нико сравнивает свой предыдущий опыт изучения математики, которое сводилось к решению целых страниц примеров, с коллективным, исследовательским подходом: «В прошлом году на уроках математики ты был один, каждый сам по себе, но в этом году уроки стали открытыми. Это как город, все мы вместе создаем прекрасный новый мир».

Меня неизменно поражают и вдохновляют слова, которые дети используют для описания математики, когда она становится открытой дисциплиной, когда им предлагают применить свои идеи и испытать опыт взаимодействия с творческой, красивой наукой. Они говорят: «Мы свободны», «Я открыта, я чувствую себя живой» и «Мы вместе создаем прекрасный новый мир», — и это свидетельствует о трансформирующем влиянии, которое может оказывать математика, основанная на исследованиях. Ученики говорят так, потому что им предоставлена интеллектуальная свобода, а это очень сильный и волнующий опыт. Когда мы предлагаем ученикам воспользоваться интуицией и мыслить свободно, у них формируется не только новое представление о математике, себе и мире, но и интеллектуальная свобода, которая кардинально меняет их отношение к учебе.

Дебора Болл написала увлекательную и провокационную статью, в которой цитирует легендарного психолога Джерома Брунера.

Мы начнем с гипотезы, согласно которой любой предмет можно преподать эффективно и в достаточно адекватной форме любому ребенку на любой стадии развития. Это достаточно смелая гипотеза; если ее принять, она может определить и исходные позиции разработки программы обучения. Доказательств противного нет; и многое свидетельствует в ее пользу (Bruner, 1960; цит. по: Ball, 1993).