Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Римский абак представлял собой бронзовую доску с пазами, в которых ходили круглые бронзовые пуговки. Пуговки нижнего ряда (по четыре в каждом пазу), сдвинутые к середине, означали единицы своего разряда; сдвинутые пуговки верхнего ряда (по одной в каждом пазу) означали пятки; пуговки в двух крайних пазах справа служили для отсчета дробей: в левом пазу откладывались 1/ 12» в правом — 1/ 24; 1/ 48; 1/ 72. На абаке отложено 852 4/ 12 1/ 24.

Родствен абаку перуанский "кеипос " — ряд ремней или бечевок с завязанными на них узлами. Этот счетный прибор получил особенное распространение среди первых обитателей Южной Америки, но без сомнения был в употреблении также и в Европе (см. далее: "Отголоски старины").

В средние века, вплоть до XVI века, подобные приспособления были широко распространены в Европе. Но теперь видоизмененный абак— счеты — сохранился только, кажется, у нас да на азиатском Востоке — в Китае (семикосточковые счеты— "суань-пань" [10] Суань-пань изготовляется всевозможных размеров, до самых миниатюрных (у меня имеется китайский суань-пань — брелок в 17 мм длины и 8 мм ширины). Употребляются также шестикосточковые счеты: 5 косточек по одну сторону планки, одна — по другую. (На имеющемся у меня образчике таких счетов 21 ряд косточек.) ) и Японии (тоже семикосточковые счеты — "соробан"). Каждый грамотный человек умеет там выполнять на таких счетах четыре арифметических действия.

Между тем Запад почти не знает счетов — вы не найдете их ни в одном магазине Европы, и только в начальных школах имеются огромные счеты — наглядное классное пособие при обучении нумерации.

Счетный прибор перуанцев — "квипос". Отголоском пользования подобными веревочными приборами является обычай сегодняшнего дня — завязывать для памяти узелок на носовом платке.

Японцы ценят свои счеты высоко. Вот как отзывается о соробане один японский ученый: "Несмотря на свою древность, соробан превосходит все современные счетные приборы легкостью обращения с ним, простотою устройства и дешевизною".

Мы тоже вправе были бы гордиться нашими конторскими счетами, так как при изумительной простоте устройства они по достигаемым на них результатам могут соперничать в некоторых отношениях даже со сложными, дорогостоящими счетными машинами. В умелых руках этот нехитрый прибор делает порой настоящие чудеса. Один специалист, заведовавший до революции крупной русской фирмой по продаже счетных машин, рассказывал мне, что ему не раз приходилось изумлять русскими счетами иностранцев, привозивших в его контору образцы сложных счетных механизмов. Он устраивал состязания между двумя счетчиками, из которых один работал на дорогой заграничной "аддиционной" машине (то-есть машине для сложения), другой же пользовался обыкновенными счетами. И случалось, что последний — правда, большой мастер своего дела — брал верх над обладателем заморской диковинки в быстроте и точности вычислений.

Семикосточковые счеты. В Китае они называются "суаньпань", в Японии — "соробан".

Предок русских конторских счетов — древнерусский абак "счет костьми", известный по рукописям XVI–XVII веков. На доске или на столе чертилась мелом сетка из 6–9 горизонтальных линий и нескольких вертикальных. Счет производился при помощи сливовых косточек или медных жетонов — "пенязей"; они раскладывались на горизонтальных линиях и в промежутках между ними; сейчас на абаке положено число 356. Сбоку показано сложение (вверху) и вычитание "счета костьми" (внизу).

Бывало и так, что иностранец, пораженный быстротой работы на счетах, сразу же сдавался и укладывал свою машину в чемодан, не надеясь продать у нас ни одного экземпляра.

— К чему вам дорогие счетные машины, если вы так искусно считаете при помощи ваших дешевых счетов! — говорили нередко представители иностранных фирм.

Правда, на русских счетах нельзя производить всех тех действий, которые выполняются машинами. Нынешние счетные машины, конечно, оставляют далеко позади наши счеты. Но во многом — например, в сложении и вычитании — счеты могут соперничать со сложными приборами. Впрочем, в искусных руках умножение и деление также значительно ускоряются на счетах, если знать приемы выполнения этих действий.

Познакомимся с некоторыми из них.

Современный советский счетно-записывающий автомат — табулятор "Т-м". Он сам считает числа и ведет запись со скоростью до 45 000 операций в час.

Вот несколько приемов, пользуясь которыми всякий умеющий быстро складывать на счетах сможет проворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и складывают этот результат с самим собою.

Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, то-есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 с помощью счетов мы уже объяснили выше).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое.

Вместо умножения на 7 множат на 10 и отнимают умножаемое 3 раза.

Умножение на 8 заменяют умножением на (10 — 2).

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на (10 — 1).

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.

Читатель, вероятно, уже сам сообразит, как надо поступать при умножении на числа больше 10 и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. Множитель 11 надо, конечно, заменить (10 + 1). Множитель 12 заменяют (10 + 2) или, практически, (2 + 10), то-есть сначала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется (10 + 3) и т. д.

Рассмотрим несколько особых случаев для множителей первой сотни:

20 = 10 х 2; 22 = 11 х 2

32 = 22 + 10; 42 = 22 + 20;

25 = (100:2):2; 43 = 33 + 10

26 = 25 + 1; 45 = 50 — 5

27 = 30 — 3; 63 = 33 + 30

и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п. Поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, большие 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умножить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произведения, — это все же дает некоторое сокращение времени.

Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножение; для этого нужно запомнить целый ряд особых приемов, подчас довольно замысловатых. Здесь укажу лишь, ради примера, удобные приемы деления с помощью счетов на числа первого десятка (кроме числа 7, способ деления на которое чересчур сложен).