Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Сведем первый и второй ответы к одному уравнению:

Вычтем 2 ab из обеих сторон и получим

что и требовалось доказать.☺

Доказательство 2:Возьмем ту же фигуру, что и в предыдущем доказательстве, только немного поменяем расположение треугольников в ней. И если на левом рисунке очевидно, что площадь пустого пространства равна c ², то на правом она уже составит a ² + b ². Следовательно, c ² = a ² + b ², что и требовалось доказать.☺

Доказательство 3:Снова передвинем треугольники, только на этот раз так, чтобы они располагались более компактно (как на следующем рисунке), а c ² была бы площадью не маленького внутреннего, а большого квадрата (это будет все еще квадрат, ведь каждый его угол есть сумма ∠A и ∠B, то есть 90°). Общая площадь треугольников по-прежнему равна 4( ab /2) = 2 ab . Площадь же внутреннего пустого пространства составит ( a – b )² = a ² – 2 ab + b ². Соединив все вместе, имеем 2 ab + ( a ² – 2 ab + b ²) = a ² + b ², что и требовалось доказать.

Доказательство 4:Это будет доказательство подобием, поэтому нам нужно сначала вспомнить все, что мы знаем и подобных треугольниках. В прямоугольном треугольнике ABC проведем линию CD так, чтобы она была перпендикулярна гипотенузе AB , как на рисунке:

Обратите внимание, что треугольник ADC содержит как прямой угол, так и ∠A, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠B. Подобным же образом треугольник CDB содержит как прямой угол, так и ∠B, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠A. Следовательно, все три треугольника будут подобными:

Имейте в виду, что порядок букв здесь имеет важное значение: ∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90° являются прямыми углами, как и ∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD и ∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC. Сопоставление длин сторон первых двух треугольников дает

Точно так же для первого и третьего треугольников –

Сложим эти два уравнения и получим

А так как AD + DB = AB = c , мы приходим к

что и требовалось доказать.☺

Следующее доказательство будет чисто геометрическим – никакой алгебры, зато очень много непростой визуализации.

Доказательство 5:В этот раз возьмем два квадрата с площадями a ² и b ². Расположим их вплотную друг к другу – как показано на рисунке слева, и их общая площадь тогда составит a ² + b ². «Разрежем» получившуюся фигуру на два прямоугольных треугольника (длины катетов составят a и b , длина гипотенузы – c ) и один странной формы геометрический объект. Обратите внимание, что угол в нижней части этого «странного объекта» должен быть равен 90°, потому что его окружают ∠ A и ∠ B . Представьте себе, что в левом верхнем углу большого квадрата и правом верхнем углу маленького квадрата расположено нечто вроде опорных стержней, вокруг которых потенциально может происходить «вращение» (подобно тому, как комнатная дверь «вращается» вокруг дверной петли, закрепленной на косяке).

А теперь мысленно поверните нижнюю часть левого треугольника на 90° против часовой стрелки – так, чтобы «вывести» его за верхнюю границу большого квадрата. Поверните на 90° и второй треугольник, только теперь по часовой стрелке – так, чтобы прямые углы «легли» один на другой в точке сочленения двух квадратов, как показано на рисунке:

В результате получится квадрат, площадь которого будет равна c ². Следовательно, a ² + b ² = c ², что и требовалось доказать.☺

Теорема Пифагора нужна нам для того, чтобы объяснить ответ на четвертый вопрос нашей викторины – вопрос о футбольном поле и двух его воротах, расположенных в 110 метрах друг от друга, с натянутой между ними веревкой длиной 110 метров 30 сантиметров.

Расстояние от ворот до центра поля составляет 55 метров. Поднятая в этом месте вверх – до точки h – веревка дает нам прямоугольный треугольник с длиной одного катета 55 и длиной гипотенузы 55,15. Берем теорему Пифагора, добавляем немного алгебры по вкусу, перемешиваем… и получаем

Достаточно высоко даже для самого большого грузовика, правда?

Давайте закончим эту главу тем же, чем начали ее – небольшим геометрическим фокусом. Большинство доказательств теоремы Пифагора основываются на перестановке частей одной геометрической фигуры с целью получения другой с той же площадью. Но смотрите, какой обнаруживается парадокс. Возьмем квадрат 8 на 8. Его, пожалуй, вполне можно разделить на четыре части, как на рисунке чуть ниже – длина одной стороны каждой части должна равняться 3, 5 или 8 (да-да, одному из чисел Фибоначчи!). Перегруппируем эти части так, чтобы получился прямоугольник 5 на 13. (Обязательно попробуйте сделать это сами!) Но ведь площадь начальной фигуры равна 8 × 8 = 64, а конечной – 5 × 13 = 65! Но как это возможно?