Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Теперь можно смело отвечать на первый из двух вопросов, заданных в начале главы. Если мы представим экватор в виде идеального круга с длиной окружности, равной 40 075 км, его радиус составит

Но значение радиуса не так уж для нас и важно – куда важнее знать, насколько увеличится этот радиус, если к длине окружности прибавится три метра – совсем ненамного, примерно на 3/2π ≈ 0,5 метра. Следовательно, под веревкой окажется достаточно места, чтобы проползти, но недостаточно, чтобы пройти в полный рост (если, конечно, вы не танцор лимбо [21]).

Но самым удивительным здесь будет не столько сам ответ, сколько тот факт, что полученные нами 0,5 м ни капельки не зависят от изначальной длины окружности – вы придете к тому же результату независимо от того, обвязываете ли вы веревкой Землю, Юпитер, Плутон или теннисный мячик. Например, радиус круга с длиной окружности, равной 15 м, составит 15/(2π) ≈ 2,38. Прибавив 3 метра, получим новый радиус 18/(2π) ≈ ≈ 2,86, который будет больше старого примерно на 0,5 метра.

А вот еще один очень важный факт из геометрии окружностей.

Теорема:Предположим, что точки X и Y лежат на окружности строго друг напротив друга. Тогда при любом положении третьей точки P ∠ XPY = 90°.

На рисунке, например, хорошо видно, что углы ∠ XAY , ∠ XBY и ∠ XCY являются прямыми.

Доказательство:Проведем линию радиуса из точки O к точке P . Положим ∠ XPO = x , а ∠ YPO = y . Наша цель – показать, что x + y = 90°.

Так как отрезки OX и OP суть радиусы окружности, их длина равна r , следовательно, треугольник XPO будет равнобедренным. Согласно теореме о равнобедренных треугольниках, ∠ OXP = ∠ XPO = x . По той же логике отрезок OY является радиусом, а ∠ OYP = ∠ YPO = y . Поскольку сумма углов треугольника XYP должна быть равна 180°, получаем 2 x + 2 y = 180°, а значит, x + y = 90°, что и требовалось доказать.☺

Теорема эта является частным случаем другой, самой любимой моей во всей геометрии теоремы о центральном угле, которой посвящено следующее «Отступление».

Ответ на второй вопрос нашей мини-викторины может дать теорема о центральном угле . Возьмем две случайные точки X и Y , расположенные на окружности. Бóльшая дуга – это длинный путь от X и Y, меньшая – короткий путь. Теорема о центральном угле утверждает, что вне зависимости от положения точки P на большей дуге, проходящей от X к Y , размер угла ∠ XPY будет постоянным , а более конкретно – равным половине центрального угла ∠ XOY . Если при этом расположить на меньшей дуге точку Q , получим ∠ XQY = 180° – ∠ XPY .

Например, если ∠ XOY = 100°, тогда при любом положении P на большей дуге, проходящей от X к Y , ∠ XPY = 50°, а при любом положении Q на меньшей дуге, проходящей от X к Y , ∠ XQY = 130°.

Зная длину окружности, мы можем вывести очень важную формулу – формулу вычисления ее площади.

Теорема:Площадь круга с радиусом r равна π r ².

Вы наверняка помните эту формулу со школы. Что ж, тем больше удовольствия вы получите, узнав, наконец, из чего она вытекает. Конечно, правильнее всего было бы использовать метод вычислений, но пока вполне можно удовлетвориться и другим, не менее эффективным, доказательством.

Доказательство 1:Представьте себе круг как совокупность концентрически расходящихся колец, как это показано на рисунке. Сделайте в нем прорезь от верхнего края к центру, а затем «разогните» кольца, чтобы они сложились в фигуру, напоминающую треугольник. Чему будет равна площадь этой фигуры?

Надеюсь, вы не забыли, что площадь треугольника с основанием b и высотой h составляет Основание получившейся у нас фигуры равно 2π r (длине окружности), а его высота – r (расстоянию от центра окружности до его нижнего края). Так как наш «очищенный» круг становится тем более треугольным, чем больше мы добавляем к нему колец, его площадь составляет

что и требовалось доказать.☺

Теорема эта настолько прекрасна, что просто невозможно устоять и не доказать ее еще раз. Только если в предыдущем случае мы чистили луковицу, теперь будем разрезать пиццу.

Доказательство 2:Разделите круг на четное количество равных секторов-«кусочков». Возьмите «кусочек» из верхней половинки и положите рядом с «кусочком» из нижней половинки, как показано на рисунках (в наших примерах мы разрезали «пиццу» сначала на 8, а потом – на 16 частей). Разложите так весь круг. С увеличением количества секторов форма каждого из них будет все больше и больше напоминать треугольник с высотой r . Чередование нижних секторов (назовем их «сталагмитами») с верхними («сталактитами») дает нам фигуру, по форме очень близкую к прямоугольнику, с шириной, равной r , и длиной, равной половине длины окружности, то есть π r . (Чтобы сделать ее именно прямоугольником, а не параллелограммом, «отсечем» от крайнего левого «сталактита» ровно половину и «приклеим» ее к правому краю.) Так как форма разделенного на сектора круга становится все более и более

прямоугольной с увеличением количества этих секторов, площадь окружности составит

как мы и предполагали.☺

А еще можно взять окружность и представить ее на плоскости в виде графика.

Для круга с радиусом r и центральной точкой, расположенной в координатах (0, 0) работает формула

что хорошо видно по графику чуть ниже. Чтобы в этом разобраться, возьмем некую лежащую на окружности точку с координатами ( x, y ). Опустим из нее до оси x перпендикулярную этой оси линию – получится прямоугольный треугольник с катетами x и y и гипотенузой r . Тогда, согласно теореме Пифагора, x ² + y ² = r ².