Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Хотите, расскажу вам о своей любимой бесконечной сумме? Вот она:

Чтобы доказать это, обратимся к алгебраическим хитростям и так же, как мы делали во втором доказательстве действительности конечного геометрического ряда, сдвинем отдельные элементы. Такой подход отлично срабатывает для конечных сумм, но в применении к суммам бесконечным он дает порой очень странные, порой абсурдные результаты. Применим его для начала к одному из предыдущих тождеств. Сумму запишем дважды – без сдвига и со сдвигом. Получится

Сложим эти два уравнения:

Следовательно, S будет равно 1/2, как мы и рискнули предположить чуть выше, заменив x в геометрическом ряду на –1.

Тот же метод можно использовать для быстрого (хотя и не вполне «законного») подтверждения формулы геометрического ряда.

Вычтем одно уравнение из другого:

Самое потрясающее то, что знакочередующаяся версия желаемой нами суммы тоже имеет очень любопытный ответ:

Сдвигаем, записываем ответ дважды:

Складываем:

Следовательно, 2 T = S = 1/2, то есть T = 1/4, как и было сказано.

Ну и, наконец, посмотрим, что произойдет, если представить сумму всех положительных целых как U и сравнить ее с уже известной нам суммой T (точнее, с ее рядом без сдвига):

Вычтем второе из первого:

Другими словами,

Решая это уравнение для U , получаем 3 U = – T = –1/4, следовательно,

как и предполагалось.

Для протокола отметим, что при сложении бесконечного количества положительных целых сумма расходится до бесконечности. Но не торопитесь списывать все наши конечные результаты на обычные чудеса математики – с подобными странностями можно и нужно разобраться. Достаточно просто посмотреть на числа под другим углом, и сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… = –1 покажется не такой уж и невероятной.

В привязке к оси, как вы наверняка помните, казалось невозможным найти корень числа –1, но у нас получилось сделать это, когда мы трактовали комплексные величины как точки на комплексной же плоскости – точки, подчиняющиеся своим собственным арифметическим законам. Любой физик, занимающийся теорией струн [37], подтвердит, что 1 + 2 + 3 + 4 +… = –1/12, ведь именно на этой сумме основано множество его вычислений. Видите: даже самый абсурдный результат нельзя просто взять и отмести только на основании его абсурдности – всему есть свое объяснение, достаточно лишь напрячь воображение.

Давайте закончим эту книжку еще одним парадоксальным результатом. В начале раздела мы взяли знакочередующийся ряд

сходящийся к ln 2 = 0,693147…. От перемены мест слагаемых сумма, по идее, меняться не должна – этот принцип называется коммутативным законом сложения и выглядит как

для любых значений A и B . И тем не менее

Это именно перемена мест слагаемых: мы по-прежнему складываем дроби с нечетными значениями знаменателя и вычитаем дроби с четными значениями знаменателя. И хотя четные числа используются в ряду в 2 раза чаще, чем нечетные, тех и других у нас бесконечный запас. К тому же каждая из дробей встречается лишь единожды, как и в оригинальном уравнении. Правда? Правда. Но взгляните-ка:

Это значит, что у нас получается лишь половина изначальной суммы! Как такое возможно? И как возможно то, что перемена мест слагаемых приводит нас к другому результату? Ответ прост: коммутативный закон сложения вполне может «буксовать», когда дело доходит до бесконечного количества чисел, и это хорошо известно.

«Пробуксовка» возникает при схождении всякий раз, когда положительные величины вместе с отрицательными формируют расходящийся ряд. Другими словами, когда положительные величины дают в сумме ∞, а отрицательные –∞, как в нашем последнем примере. Подобные ряды называются условно сходящимися . Их магия заключается в том, что члены в них можно перемешивать как угодно – и получать тем самым нужный нам результат. Попробуем, например, прийти к 42. Сначала добавляем необходимое количество положительных величин, чтобы сумма чуть-чуть превышала 42, потом вычитаем первый из отрицательных членов. Снова поднимаемся выше 42 и снова вычитаем отрицательный член – на этот раз второй. Повторяем алгоритм и смотрим, как сумма будет все ближе и ближе подходить к 42 (например, вычтя пятый отрицательный член –1/10, мы получим значение, отличающееся от желаемого результата в пределах 0,1, пятидесятый же отрицательный член –1/100 уменьшит этот предел до 0,01 и т. д.).

Конечно, обычно бесконечные ряды, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, так странно себя не ведут. Если заменить каждый член ряда его абсолютным значением (что превратит отрицательные величины в положительные), то при сходящейся новой сумме мы получим абсолютно сходящийся ряд . Покажем это на примере уже известного нам знакочередующегося ряда:

Так вот, он будет именно абсолютно сходящимся, ведь при сложении абсолютных величин мы придем к другому, ничуть не менее знакомому нам сходящемуся ряду

Здесь коммутативный закон сложения «буксовать» не будет даже при бесконечном количестве членов. Следовательно, в изначальном знакочередующемся ряду числа 1, –1/2, 1/4, –1/8… можно «тасовать» как угодно – их сумма всегда будет равна 2/3.