Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Не менее удивителен и следующий факт: одного взгляда на простые знаменатели достаточно, чтобы понять, что при большом простом значении p

где M = 0,2614972…, то есть постоянная Мертенса . Аппроксимация, таким образом, будет становиться точнее и точнее с увеличением значения p .

Следствием этого факта является то, что

Стремление к бесконечности здесь действительно имеет место: логарифм логарифма числа p есть величина малая даже при очень большом значении самого p . Так, сумма обратных величин всех простых чисел в диапазоне от самого первого из них до числа гугол (10 100) будет меньше 6!

Хотите увидеть, что произойдет, если немного модифицировать гармонический ряд? Даже если выбросить из него определенное конечное количество членов, он все еще будет расходиться. Например, если выбросить первый миллион – – который в сумме даст 14, все оставшиеся члены все равно будут стремиться к бесконечности.

Ряд будет расходиться, даже если его расширить. Например, так как при имеем

Уменьшение каждого члена, даже деление на 100, ничего не изменит:

Так что же, получается, вообще нет никаких способов заставить этот ряд сойтись? Есть! Как показал Эйлер, достаточно просто возвести знаменатели всех его членов в квадрат:

В принципе, воспользовавшись интегральным исчислением, можно показать, что при любом значении p > 1 ряд

будет сходиться к значению, меньшему, чем Например, при p = 1,01 ряд будет сходиться, даже если все его члены будут лишь ненамного меньше членов гармонического ряда:

А теперь возьмем гармонический ряд и уберем из него все числа, в которых есть цифра 9. И смотрите, что произойдет: приравнять все оставшиеся члены к бесконечности уже не получится, а значит, ряд будет сходиться к некой величине. Доказать это можно, просчитав все числа без девяток. Для этого разобъем их на несколько групп в соответствии с длиной знаменателя. Начнем, к примеру, с восьми дробей с однозначным знаменателем: Членов с двумя цифрами под чертой будет 8 × 9 = 72, потому что вариантов выбора первой цифры (любой, кроме 0 и 9) у нас восемь, а вариантов выбора второй – девять. Таким же образом чисел с трехзначным знаменателем получится 8 × 9 × 9, а с n -значным – 8 × 9 n –1. Обратите внимание, что наибольшей дробью с одной цифрой в знаменателе будет 1, Благодаря этому мы можем разбить весь ряд на несколько групп, следующим образом:

и т. д. Общая же сумма составит не больше, чем

Таким образом, гармонический ряд без девяток будет сходиться к величине, не превышающей 80.◻

Секрет в том, что в этом ряду почти все большие величины обязательно будут иметь девятку. Если загадать случайное число (то есть число со случайным порядком случайных цифр), вероятность того, что среди первых n знаков не появится цифра 9, будет равна (9/10) n , и она будет стремиться к нулю по мере увеличения значения n .

Давайте посмотрим на числа π и e как на случайный набор цифр. Существует теоретическая вероятность, что рано или поздно среди них вам встретится ваше любимое целое число. Например, мое любимое 2520 – это знаки с 1845 по 1848 числа π. Первые 6 чисел Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8 – появляются вновь, начиная с 820 390 позиции. Удивительного тут на самом деле ничего нет: шансы, что идущие подряд 6 цифр совпадут со случайным шестизначным числом, – один к миллиону. А так как среди первого миллиона знаков у нас примерно один миллион шестизначных последовательностей, наши шансы не так уж и малы. С другой стороны, удивителен тот факт, что число 999 999 появляется в π сравнительно скоро, уже на 763 знаке. По этому поводу физик Ричард Фейнман как-то заметил, что если бы он помнил и воспроизводил первые 767 знаков, люди бы верили в то, что π – число вполне себе рациональное, ведь он заканчивал бы словами «Девять, девять, девять, девять, девять, девять и т. д.!».

Представляете, существуют даже специальные программы (в том числе и онлайн), которые ищут придуманные вами последовательности цифр среди знаков π и e . Испытывая одну из них, я с удивлением обнаружил, что знаки числа π, начиная с трехтысячного, выглядят как 31961 – день моего рождения, 19 марта 1961 года [36]!

Давайте суммируем все, что нам на настоящий момент известно о суммах.

В начале главы мы выяснили, что

и поняли, что это – особый случай геометрического ряда, в котором при любом значении x (при условии, что –1 < x < 1)

Все это верно и для отрицательных величин от 0 до –1. Например, при x = –1/2 получаем

Ряд, в котором постоянно чередуются положительные и отрицательные величины, с каждым шагом приближающиеся к нулю, называется знакочередующимся . Он всегда сходится. Чтобы представить его более наглядно, начертите оси координат и поставьте палец в точку ноля. А теперь перемещайте палец таким образом: сначала вправо на единицу, потом влево на 1/2, вправо на 1/4 (проверьте себя – к этому моменту вы должны быть на точке 3/4), влево на 1/8 (на точку 5/8) и т. д. Рано или поздно ваш палец остановится на одной точке – 2/3 – и не сможет никуда с нее деться.