Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Она отлично работает и при n = k + 1, поэтому, добавив к обеим сторонам x k +1, мы получим

что и требовалось доказать.◻

А что, если мы немного схитрим, прибегнем к алгебре «со сдвигом»?

Доказательство 2:Предположим, что

Умножим обе стороны на x :

Вычтем xS и, проведя ряд упрощений, получим

Другими словами, S (1 − x ) = 1 − x n + 1, то есть

что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что при x = 1/2 конечный геометрический ряд подтверждает выведенную нами ранее закономерность:

Чем больше n , тем ближе (1/2) n будет к 0. Следовательно, при n → ∞, у нас получится

На этот счет, кстати, есть одна шутка, понять которую сможет только математик. Бесконечное количество математиков заходит в бар. Первый заказывает полный бокал пива, второй – половину бокала, третий – четверть, четвертый – одну восьмую… Наконец, бармен не выдерживает и, воскликнув «Нет, ну есть же этому какой-то предел!», наливает им на всех две полные кружки.

Обобщая, можно сказать, что любое число в интервале от –1 до 1, возводимое во все бо́льшую и бо́льшую степень, все ближе и ближе подходит к нулю. В результате мы имеем крайне важный и полезный ( бесконечный ) геометрический ряд .

Теорема (геометрический ряд):При –1 < x < 1

Чтобы решить нашу последнюю задачу, примем x = 1/2:

Выглядит знакомо, не правда ли? Это потому что мы уже встречались с подобным рядом – в самом конце главы 11, когда с помощью исчисления старались показать, что функция y = 1/(1 – x ) соответствует ряду Тейлора 1 + x + x 2+ x 3+ x 4+….

А что еще мы можем «выжать» из этого ряда? Как насчет следующей суммы?

Если вынести за скобки дробь 1/4, убрав ее из каждого члена, получится

то есть при x = 1/4 мы можем упростить ряд до

Доказать это можно практически без слов – просто посмотрите на рисунок ниже и обратите внимание, что закрашенные квадраты занимают ровно треть общей площади большого квадрата.

Геометрический ряд можно использовать также для доказательства нашей задачи с 0,99999…, ведь бесконечное количество знаков после запятой есть не что иное, как замаскированный бесконечный ряд. Просто примем x = 1/10 и получим

Формула геометрического ряда верна и тогда, когда х – комплексное число, при условии, что длина x – меньше 1. Например, мнимое число i /2 имеет длину 1/2, из чего следует, что

что показано на следующем графике, расположенном на комплексной плоскости.

И хотя формула конечного геометрического ряда верна для любого значения x ≠ 1, (бесконечный) геометрический ряд требует, чтобы | x | был меньше 1. Например, при x = 2 конечный геометрический ряд покажет нам (как мы уже выяснили в шестой главе), что

а бесконечный – что

что выглядит нелепо (хотя это впечатление может быть и обманчивым: в предпоследнем разделе этой главы мы увидим вполне правдоподобное объяснение такого результата).

Число положительных целых величин бесконечно:

Равно как бесконечно и количество положительных четных целых величин:

Считается, что первое множество (или число элементов, или степень бесконечности) приблизительно равно первому. В пользу этого утверждения говорит тот факт, что положительные целые и положительные четные целые можно объединить в пары, вот так:

Множество, способное к объединению в пары, называется счетным . Степень бесконечности у него, как правило, невелика. Любое множество, величины которого можно перечислить , является счетным, так как первый его элемент есть пара к 1, второй – к 2 и т. д. Множество всех целых величин

перечислить от меньшего значения к большему не получится просто потому, что нет никакого «стартового» наименьшего значения. Зато получится перечислить их вот так:

Следовательно, множество всех целых является счетным, а число его элементов равно числу элементов в множестве положительных целых.

А что насчет множества положительных рациональных величин? Напомню: рациональными называются числа, имеющие форму m / n , где и m , и n суть положительные целые. Хотите – верьте, хотите – нет, но и это множество будет счетным. Перечислить его элементы можно следующим образом: