Анонiм (Гор Грит) - Спящий бог 018

Оказалось, что геометрий много. Каждая верна относительно своих аксиом. Гильберт написал основы для всех геометрий, что воодушевило его на штурм новой высоты — дать основание арифметики, из чего будет следовать основание математики, и в итоге создать систему, объемлющую все знания. Если первой задачей в списке Гильберта была задача, связанная с бесконечностью, то второй шла задача по упорядочиванию арифметики. Он полагал, что, опираясь на непреложные истины, аксиомы, можно достигнут цели.

Рассел и Уайтхед приступают к решению этой задачи — пробуют дать математике основание. Берут за основу несомненные и очевидные первичные аксиомы. На их основе доказывают следующие утверждения, а из тех следующие, и так далее. В итоге возникает монументальный труд из трех томов «Principia Mathematica» (Принципы математики).

Чтобы далекий от математики читатель (а таких большинство, включая меня) оценил титанические усилия авторов «Принципов», скажу, что примерно через три с половиной сотни странице авторы создали достаточную базу, чтобы доказательно сказать:1+1=2.

Наверное, тут у читателя должна отвиснуть челюсть, ибо сложно понять, какие такие титанические усилия нужны, чтобы доказать непротиворечивость утверждения, что 1+1=2? Многих это насторожит, ибо, кажется, что тут за версту пахнет софистикой.

То, что нам кажется предельно очевидным, на самом деле является запредельным и очень сложно усваиваемым, если вообще улавливаемым. Например, что такое единица? В бытовом представлении это одно яблоко. Но представьте, что вы смотрите на мир глазами нейтрино. Для вас исчезли все объекты, вы видите только пустоту. Вы утратили костыль в виде образов, и вам не на что опереться. И я снова к вам с вопросом: что такое единица? Если вы вошли в тему, то увидите, какая это чудовищная абстракция — числа.

Есть две математики. Первая связана с миром физических объектов — арифметика. Тут в роли доказательства выступает опыт. Одно яблоко + одно яблоко = два яблока. Но арифметика не может дать ответа, сколько будет одно яблоко + один ветер или одна коза. Опыт говорит, что будет одно яблоко и один ветер (и коза тоже отдельно будет).

Чтобы счет не зависел от реальных объектов, его нужно отделить от физического мира. Так возникает математика, ни к чему не привязанная дисциплина, оперирующая с абстракциями, с тем, чего не существует — с цифрами. И вот здесь, в отрыве от опыта, уже нужно доказать, что 1+1=2. Именно эту задачу ставил Гильберт, а Рассел с Уайтхедом ее решали. Они искали, как «и так понятно, что 1+1=2» строго доказать.

И все бы хорошо, но пришла на математиков беда, откуда не ждали. В 1931 году 25-летний математик Гёдель публикует две теоремы, доказывающие, что невозможно создать аксиоматическую систему, из которой нельзя вывести противоречивые утверждения.

Этот юноша посещал лекции Гильберта, где тот рассказывал о перспективах, какие откроются человечеству, если удастся обосновать арифметику, потом математику, и от нее перекинуть систему на все человеческие знания. Гёдель показал, что это невозможно.

Теорема о неполноте строго доказывает, что всякая достаточно полная система по своей природе противоречива, то есть содержит в себе утверждения, где одно белое, другое черное. Но при этом оба утверждения равно убедительно доказываются или ни одно не опровергается. Если же система не содержит в себе противоречий, она неполная.

Чтобы увидеть истину доказательства теоремы Гёделя, нужно знать математику. Я не математик, и потому мне проще понять суть теоремы не через алгебраические символы, а через «я лгу», которую Гёдель перевел в язык формул.

Невозможно сказать, правду говорит человек или лжет, когда заявляет: «Я лгу». Если правду говорит, что лжет, значит, лжет, т.е. неправду. Противоречие — правда получается неправдой. Если же он лжет, значит, говорит правду, и правда в этом случае снова ложь. Так что же он говорит фразой «Я лгу», правду или ложь? Ответить на вопрос невозможно.

В сети много интеллектуальной эквилибристики на эту тему, преподносимой как ее решение. Но в реальности это от непонимания сути предмета, как и с апориями Зенона, про которые говорят, что их еще на первом курсе математического факультета изучают.

Когда я слышу эти утверждения, мне вспоминается, как Эйнштейн оказался в одной компании, где зашел разговор, кто, чем занимается. Он ответил, что занимается физикой. Одна девушка крайне удивилась такому ответу и сказала, что еще в школе покончила с этим предметом. Так же многие покончили с парадоксами еще на первом курсе.

Увы, люди в своей сути водомерки, склонные не погружаться в суть, а запоминать то, что заявлено истиной, и скользить по этим истинам. Раньше они на первом курсе изучали, что Земля центр Вселенной. Потом про теплород с флогистоном. Сегодня изучают, что мир материален. И всякий раз им все понятно, и они удивляются, как можно не понимать.

Как тут снова не вспомнить Эйнштейна, который на вопрос, как ему в голову пришли такие парадоксальные идеи про время и пространство, он ответил: «Нормальный взрослый человек вообще не задумывается над проблемой пространства и времени. По его мнению, он уже думал об этой проблеме в детстве. Я же развивался интеллектуально так медленно, что пространство и время занимали мои мысли, когда я уже стал взрослым».

Язык, которым мы пользуемся, достаточно полная система. Его можно перевести в символы математики и написать программу, которая будет подчеркивать несоответствия или ошибки. И, как всякая полная система, язык противоречив. Он позволяет составить неограниченное количество противоречивых высказываний — парадоксов.

Например, упомянутый ранее парадокс Рассела про брадобрея. Или парадокс про желания: если я попрошу вас не выполнять мои желания, вы не сможете это сделать, потому что, не выполняя, вы выполняете. Я же просил не выполнять, и вы не выполняете, таким образом, снова выполняя мою просьбу. Если же выполняете, снова не выполняете мое желание (я же просил не выполнять). Что бы вы ни делали, попадаете в противоречие.

Человек никогда не сможет написать свою полную биографию. Чтобы она была полной, он должен описать себя, пишущего биографию. Это влечет за собой необходимость описать себя, пишущего о пишущем свою биографию. И так бесконечно.

Логика и разум строят свои утверждения, отталкиваясь от аксиом — принятых на веру истин ввиду их «очевидности» (аксиоматический метод). Теорема Гёделя показала, что непротиворечивое мышление достаточно полных систем невозможно. Следовательно, логика — принципиально несостоятельное и негодное средство для такой задачи.

Нанесенный Гёделем удар по математике был ужасным. Математика от него по сей день не оправилась, и думается, никогда не оправится. После чудовищного открытия Гёделя, всесокрушающую мощь которого еще не вполне оценили, математики кинулись искать выход. Одни предлагают оставить основы в покое и не пытаться их доказать. И как в старое доброе время опираться на интуитивное понятие основ математики, рожденное «очевидной реальностью». Другие предлагают технологии устранения противоречий через формализацию, внесение к имеющимся правилам новых запретов {97} 97 например, Рассел так предлагал преодолеть парадоксы теории множеств . Третьи предлагают еще что-то.