Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Эти события зависят только от численности «частиц» N: ΔN ~ N и не выходят за пределы промежутка времени t – t + Δt, где Δt – это достаточно малый шаг итерации, достаточно малый в том смысле, что при работе рекуррентного алгоритма в пределе возможен переход к уравнению причинного закона: dN/dt = αN.

При этом события-причины, составляющие элементарное звено причинно-следственной цепи, сами образуют причинно-следственную цепь элементарных событий с простой, непосредственной преддетерминацией, каждое предшествующее событие в которой является причиной последующего.

Вернемся к рассмотренному ранее примеру об экспоненциальном и гиперболическом росте колонии микроорганизмов, идущем в соответствии с причинными законами (1) и (2).

Рис. 3. Экспоненциальный и гиперболический рост численности популяции.

Считаем, что показатель смертности в обоих случаях равен нулю. Рассмотрим сначала экспоненциальный рост по закону (2). В простейшем случае, когда каждый новорожденный организм спустя некоторое время τ = 1/α = const делится на два идентичных, шаг итераций должен быть выбран гораздо меньше этого τ – времени, характеризующего рост: Δt << τ.

Т. к. показатель смертности равен нулю, то τ = 1/α – это время, необходимому микроорганизму, чтобы создать свою копию. Шаг итераций Δt не может быть соизмерим и тем более быть большим τ, т. к. за это характерное время численность N возрастает в 2,7 раза, а приращение ΔN при малом Δt также должно быть мало.

Других ограничений на Δt – нет (считаем, что объем питательной смеси неограничен, а фаза – стадия развития микробов в колонии распределена равномерно на интервале τ) и при достаточно малом шаге Δt можно перейти к простейшему дифференциальному уравнению с экспоненциальным решением.

Усложним процесс следующим образом: пусть микроорганизм в процессе деления за время τ создает сразу две, три или большее число собственных копий. Или даже будем считать, что число копий в результате каждой такой операции деления, происходящей с периодом τ, есть величина случайная, принимающая значения от нуля до бесконечности и распределенная в соответствии с единым для всех организмов законом. (Тогда можно ввести средний коэффициент прироста α = k/τ.)

И во всех этих случаях закон dN/dt = αN можно считать законом причинным в том смысле, что причины экспоненциального роста – причины внутрисистемные и связаны только с самим этим законом. Действительно, коэффициент прироста α = k/τ для каждого организма есть величина постоянная, он может быть равен единице (α = 1), больше единицы (α > 1) и меньше единицы (α < 1).

Прирост популяции равен приросту от одного организма, умноженному на численность популяции ΔN = αN. Рост популяции можно рассматривать как множество параллельных, независимых процессов с относительным сдвигом по фазе, равномерно распределенным на интервале τ.

Каждый организм делится независимо от других, рост определяется лишь эндогенными причинами, все эти причины для каждого организма, делящегося на интервале t – t + Δt, не выходят за пределы этого интервала и представляют собой цепь событий, в которой каждое предшествующее событие является причиной последующего.

Теперь перейдем к гиперболическому росту. Причинный закон квадратичного роста имеет вид: dN/dt = αN 2= (Nk/τ)N = α'N. Такой рост можно рассматривать как экспоненциальный с переменным, зависящим от общей численности коэффициентом прироста α'. В таком случае общий прирост численности ΔN для всей колонии микроорганизмов может быть получен умножением прироста Δn для одного организма на общую численность N: Δn = α'Δt; ΔN = ΔnN = α'NΔt.

При этом, так же как в предыдущем примере, прирост за характерное время для одной особи может быть гораздо меньшим единицы: Δn << 1. (Можно представить себе микроорганизмы с постоянным α, численность которых хотя и растет экспоненциально, но делятся они чрезвычайно редко; это возможно и при гиперболическом росте на начальном его этапе.)

Если считать закон (1) dN/dt = αN 2= (Nk/τ)N законом причинным, приходится констатировать, что сам по себе он не в состоянии полностью объяснить гиперболический рост. Действительно, зависимость коэффициента прироста от общей численности N: α' = Nk/τ, выражающая системность растущей популяции, может быть обусловлена лишь какой-то единой, общей для всех организмов причиной.

Эта причина является «сторонней» по отношению к закону (1), никак из него непосредственно не вытекающей. Этим закон (1) отличается от закона (2). Если такая причина, определяющая математическое ожидание прироста для одного организма Δn = α'Δt будет найдена, общий прирост может быть вычислен простым сложением приростов: ΔN = ΔnN.

Но поскольку коэффициент прироста α' зависит от общей численности N, т. е. не есть величина постоянная и меняется со временем, то должен существовать «механизм», обеспечивающий информационную связность, системность растущей популяции, который, собственно, и является истинной причиной гиперболического роста.

Следовательно, закон dN/dt = αN 2(в отличие от причинно-самодостаточного, никем и никак не управляемого закона экспоненциального роста dN/dt = αN) – не может считаться причинным, т. е. не может выступать в качестве причины гиперболического роста.Именно поэтому между этими внешне схожими законами роста популяций лежит непреодолимая пропасть.

Но всегда ли закон экспоненциального роста численности однородных размножающихся «частиц» может считаться причинным законом? Приведем пример экспоненциального роста, для которого закон dN/dt = αN причинным законом считаться не может.

Рассмотрим производство «универсальных копиров»: фантастических аппаратов, способных создавать копию любого материального объекта (в том числе и самого себя), причем как оригинал, так и копия могут снова себя скопировать.

Будем также считать, что сырье, энергия, рабочие площади присутствуют в неограниченном количестве. Если этим «самопроизводством» копиров никто не управляет – рост их будет экспоненциальным, похожим на размножение микроорганизмов в чашке Петри. Элементарное звено причинно-следственной цепи длительностью Δt будет включать здесь события, задаваемые простыми законами с преддетерминацией.

Т. е. величину прироста ΔN определяют события, происходящие в системе на интервале t – t + Δt. Закон dN/dt = αN, полностью определяющий рост производства, в этом случае будет причинным. Представим теперь такую ситуацию. Фирма производитель получает заказ на производство партии копиров. Заказ должен быть выполнен в течение года, и требования заказчика таковы, что это возможно лишь при экспоненциальном росте выпуска продукции, происходящем с максимально возможной скоростью, когда каждый сошедший с конвейера копир сразу же включается в процесс производства как средство производства.