Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Отметим разницу между теориями, объясняющими гиперболический рост населения мира на основе нелинейного дифференциального закона (уравнения), связывающего мировой естественный прирост с текущей численностью (dN/dt = N 2/C), и нашей финалистской теорией. Пропорциональность прироста численности ее квадрату в таких редукционистских теориях объясняется чисто умозрительно (на самом деле постулируется), а коэффициент пропорциональности 1/С – берется из работы Форстера. Гипербола мирового демографического роста получается здесь как решение этого дифференциального уравнения.

Наша модель построена иначе. Она не основана на законе квадратичного роста как на причинном дифференциальном законе, описывающем автокаталитический процесс. Постоянная C, гипербола мирового демографического роста, точка ее сингулярности t 0выводятся нами чисто теоретически из алгоритма роста сети четвертого ранга и космологических данных без всяких ссылок на работу Форстера и его коллег.

Сравним сначала законы экспоненциального и гиперболического роста численности популяции с точки зрения возможности введения в рамках этих законов характерных масштабов времени и численности.

Рис. 1. Экспоненциальный и гиперболический закон роста численности популяции.

Если математические уравнения, описывающие некий закон, не содержат масштаб, в котором могут быть измерены входящие в него переменные, то такой закон называется масштабно-инвариантным относительно этих переменных. В физике масштабная инвариантность означает неизменность уравнений, описывающих какой-либо процесс при изменении всех расстояний и промежутков времени в некоторое число раз. В теории фракталов под масштабной инвариантностью, самоподобием понимают неизменность структуры фрактала при изменении масштаба протяженности, в котором он наблюдается.

Насколько правомерно говорить о масштабной инвариантности закона роста населения Земли, как это делает С.П. Капица, основываясь лишь на том факте, что рост этот описывается степенным законом?

Возникает вопрос: масштабная инвариантность чего? Масштабная инвариантность – это неизменность уравнения или структуры. Речь здесь явно не может идти ни о какой структуре исторического или демографического процесса во времени. Никто же не станет всерьез утверждать, что каждый из десяти исторических циклов в модели Капицы – это сжатая копия предыдущего!

Остается степенная зависимость численности от времени, которая, как и всякая другая степенная зависимость, является инвариантной к масштабам, в которых измеряются входящие в нее переменные. (Т. е. степенная зависимость N(t) сохраняется при изменении масштабов N и t.) Что позволяет говорить в этом смыслео законе роста населения мира, как о законе масштабно-инвариантном.

Но несет ли такая масштабная инвариантность этого закона какой-либо смысл, объясняется ли эта его чисто математическая инвариантность природой процесса роста численности населения Земли или не имеет к ней никакого отношения? Ведь даже в каузальном отношении суть его остается непонятной.

В случае экспоненциального роста показатель n = 1, дифференциальный закон роста является линейным и экспоненциальная зависимость численности от времени содержит встроенный в этот закон масштаб времени τ = 1/α. Что это означает?

Это означает то, что такой рост и такой закон роста нельзя считать масштабно-инвариантными по отношению к переменной t. Действительно, за время τ численность популяции всегда возрастает в 2,7 раза независимо от того, какого значения она достигла к этому моменту времени.

Это свойство закона экспоненциального роста популяции уникально по сравнению со всеми другими законами роста, вне зависимости от того является ли этот закон причинным или не является, т. е. определяет ли положительную обратную связь между численностью и естественным приростом или не определяет, а выражает лишь связь функциональную, непричинную (не ПОС).

Причина уникальности – в линейности дифференциального уравнения, описывающего рост, и как следствие этой линейности – независимости (в случае линейной ПОС между численностью и приростом) роста каждой части популяции от другой.

Следует отметить, что никакого встроенного масштаба численности закон экспоненциального роста популяции не содержит, т. к. численность за время τ возрастает, как мы уже отмечали ранее, в 2,7 раза независимо от того, с какого значения начался ее рост.

Закон гиперболического роста (n > 1), так же как и любой другой степенной закон, является в указанном нами смысле масштабно-инвариантным и не содержит никаких «встроенных» в этот закон масштабов времени и численности.

Например, если N(t) = Ct mи взять t 1= kt, а N 1= k mN, то закон роста останется неизменным: N 1= Ct 1 m, т. е. он оказывается инвариантным по отношению к согласованному изменению единиц измерения времени и численности (увеличению первой в k раз, второй – в k mраз).

Чего не скажешь о законе экспоненциального роста; если N(t) = N oe t/ τи взять, например, t 1= kt, то никаким изменением масштаба N 1= k 1N закон роста к прежнему виду не привести: N 1(t) = N o(e t/ τ) k→ N 1(t) = No 1-k(N(t)) k≠ k 1N(t).

Если сравнивать законы экспоненциального и гиперболического роста популяции с точки зрения характерных масштабов времени и численности, то необходимо отметить, что независимо от их каузальной интерпретации, закон экспоненциального роста содержит «встроенный» в этот закон масштаб времени, но не содержит никакого «встроенного» в него масштаба численности.

Закон же гиперболического роста, как таковой, не содержит никаких «встроенных» в этот закон масштабов времени и численности. Но если существует некий «сторонний», не связанный с уравнением роста масштаб, например, масштаб времени τ, то масштаб численности определяется с полной однозначностью из условия N 1= C/τ (n = 2).

Действительно, если поделить числитель и знаменатель выражения N(t) = C/(t 0– t) на характерное время τ (в общем случае делим на τ n-1), то время роста будет выражаться в единицах характерного времени τ, а численность в характерных единицах численности: N '= C/τ. Т. е. закон гиперболического роста популяции, в отличие от закона экспоненциального роста, либо вообще не имеет никаких характерных масштабов ни для N, ни для t, либо имеет их сразу оба.

Есть еще одно важное отличие экспоненциального роста популяции от гиперболического. Заключается оно в том, что эволюция популяции, численность которой растет по экспоненциальному закону, не может происходить циклически, тогда как в случае гиперболического роста с характерным временем и характерной численностью ее эволюция, по-видимому, должна быть циклической.