Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Закон гиперболического роста N = C/(to – t) – закон степенной и потому, по крайней мере чисто формально, – закон масштабно-инвариантный. Но такая его инвариантность к масштабу – не более чем промежуточная асимптотика. При выходе за границы интервала этой асимптотики для времени и для численности появляются естественные масштабы их измерения.

Во второй половине ХХ века, когда завершилась эпоха гиперболического роста, численность населения Земли составляла значение M ~ 5 млрд человек. То, что гиперболический рост завершился именно при такой, а не при какой-то меньшей или большей численности, позволяет определить ее в качестве естественной меры численности человечества на время перехода.

На другом конце интервала промежуточной асимптотики, в самом начале роста одной из популяций Homo sapiens, 1,7 млн лет тому назад, когда ее численность была порядка K = 60000–70000, был такой момент ее эволюции, когда произошел переход к гиперболическому росту. При этом можно заметить, что M ≈ K 2и имеется еще один масштаб для численности – К. В итоге и при таком определении мы снова приходим к константам Капицы K и т.

В феноменологической теории Капицы есть единственная характерная численность К, используя которую можно полностью описать гиперболический рост. Но для описания завершающего этапа этого роста и перехода без характерной численности M = kK 5= kK 4 2= K 2не обойтись. Почему это так?

• во-первых, потому, что конец эпохи гиперболического роста и начала демографического перехода приходится, как мы уже отмечали ранее, на тот момент времени, когда численность населения Земли достигает значения равного M = 4–5 млрд человек;

• во-вторых, численность населения Земли на момент завершения демографического перехода подойдет к своему пределу и будет в первом приближении оставаться неизменной, по порядку величины сравнимой с M: в модели Капицы (2–3)M, в нашей модели 2M;

• в-третьих, закон гиперболического роста, записанный в характерных масштабах τ и М, наиболее прост по форме: N(T) = 1/T, где численность измеряется в единицах M, а время отсчитывается в единицах τ от точки сингулярности в прошлое;

• и, наконец, в-четвертых, если принять M, а не К, как это делает С.П. Капица, за масштаб для измерения численности, то не будет никаких проблем с размерностью константы К.

Действительно, постоянную К можно считать безразмерной постоянной, но можно, как полагал С.П. Капица, определить ее и как размерную постоянную. В этом случае теория размерностей позволяет избежать ошибок в процессе преобразований закона роста. С.П. Капица даже в рамках одной работы описывает константу К то как размерную, то как безразмерную. [1]

Причем для того, чтобы добиться равенства размерностей в правой и левой части уравнения Капицы, он даже вводит две константы К, равные по величине, но одну из них считает безразмерной, а вторую – размерной: с размерностью численности. [21]

Если считать, что C = K 1K 2τ, где K 1= 67000 – число (с размерностью люди) числа людей в популяции, а K 2– полное число популяций в финале роста (безразмерное число компактных человеческих поселений), то размерности в левой и правой части уравнений Форстера и Капицы будут одинаковы.

При такой интерпретации постоянных роста теория Капицы приводит к демографическому парадоксу: K 1= K 2– люди и поселения в момент начала перехода оказываются по непонятной причине друг другу соразмерными. (Подобное странное совпадение есть и в космологии: число галактик во Вселенной на завершающем этапе ее эволюции, т. е. в наше время, равно среднему числу звезд в галактиках.)

Свою феноменологическую теорию С.П. Капица мог построить и с использованием констант М и τ, определив из динамики роста численности в конце ХХ века характерную численность М = K 1K 2и постулируя, что на завершающем этапе роста K 1= K 2. Тогда уравнение Капицы могло бы быть интерпретировано как закон квадратичного роста не людей, а популяций. Но «парадоксов роста» здесь все равно не избежать.

Кроме парадокса перехода, когда K 1= K 2, – это и отсутствие ответа на вопрос: чем популяция гоминид, наших далеких предков, отличалась от всех прочих популяций, что при достижении числа ее членов значения ~ К 1расти уже стала численность популяций, а не самих гоминид, причем не экспоненциально, а гиперболически; это и парадокс начала неолита, когда число популяций достигло значения корня квадратного из численности одной популяции: K 2= √K 1и началась первая демографическая революция; это и парадокс исторических циклов Дьяконова – Капицы, природа которых остается непонятной…

На самом деле, вводить две константы K 1и K 2нет никакой необходимости, ведь если считать, что M имеет размерность численности – проблема полностью снимается. Постоянная К в таком случае имеет размерность корень квадратный из размерности численности.

По нашему же мнению, численность населения мира следует считать целочисленной безразмерной величиной, а размерность ее плотности – 1/м 2. Так, например, в физике концентрация частиц имеет размерность 1/м 3.

Важно понимать следующее: вычислить постоянные роста оказалось возможным по двум причинам. Первая причина заключается в том, что рост человечества на протяжении тысячелетий описывался – причем с очень высокой точностью – простейшей из возможных, степенной гиперболической функцией. (В модели Капицы при to – t >> τ зависимость (2) должна по идее переходить в гиперболу Форстера.) Именно поэтому постоянная Форстера C как константа эволюции человека имеет право на существование.

А вторая следует из теории глобального демографического перехода, в соответствии с которой этот рост, длившийся тысячелетиями, во второй половине текущего столетия за ничтожное по историческим меркам время, т. е. практически мгновенно, прекращается, численность стабилизируется (в модели Капицы устремляется к асимптоте кривой (2)) и меняться в дальнейшем не будет.

Как показывает анализ демографического перехода, мы в данный момент времени (второе десятилетие XXI века) приближаемся к его середине, причем длительность перехода составит примерно 100 лет. Т. е. стабилизация численности произойдет не за 10000, не за 1000 и не за 500 лет, а именно за 100 лет. Момент отхода закона роста от гиперболы Форстера, численность в этот момент времени, длительность первого цикла перехода от момента его начала до сингулярности гиперболы Форстера, динамика роста численности в конце ХХ, начале XXI века – все эти данные позволили «расщепить» постоянную Форстера C на константы M и τ.

Действие своих констант K и τ, полученных при анализе начала перехода, С.П. Капица распространил и на эпоху гиперболического роста. В своих работах он утверждает, что именно такие масштабы времени и численности характеризуют также и процесс гиперболического роста населения мира, продолжавшегося тысячи или даже десятки и сотни тысяч лет.