Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

«Дальнейшие исследования (Kremer 1993; Коротаев 2006; Цирель 2008) показали, что сама пропорциональность выполняется не столь жестко, что показатель степени в знаменателе не обязательно равен единице и не обязательно неизменен в течение всей истории человечества, поэтому предопределенность, заданная уравнением (1), (эмпирической гиперболой Форстера [А.М.]) существенно преувеличена» [44].

В 2006 году Цирель писал мне о том, что они с Коротаевым чрезвычайно озабочены слишком высокой, по их мнению, точностью, с которой определена гипербола Форстера. Так и не найдя этому никакого объяснения, они решили сей факт проигнорировать и считать, что его как бы нет. А для того, чтобы их редукционистские модели выглядели правдоподобно, они, без всякого на то основания, стали называть закон гиперболического роста – гиперболическим трендом.

И даже С.П. Капица выражает сомнение в точности, полученной Форстером для показателя степенной функции:

«Заметим, что точность определения показателя n представляется несколько преувеличенной» [1].

Здесь мы приведем аргументы, говорящие о том, что показатель p в формуле степенного закона роста численности населения мира от времени должен быть в точности равен единице.

Иначе говоря, получив для показателя степенной функции при обработке данных по методу наименьших квадратов столь точный и столь близкий к единице результат, можно было сразу же прийти к утверждению о том, что в формуле закона, вызывающего такой рост, показатель p должен быть в точности равен единице и не может быть равен, скажем, 0.99 по принципиальным соображениям.

Мы докажем, что целочисленное значение показателя p = 1 занимает выделенное по сравнению со всеми другими, близкими к единице значениями, его соседями на числовой оси.

Действительно, если считать, что в формуле закона роста численности населения мира от времени показатель p ≠ 1, а равен, скажем, 0.99, то размерность постоянной Форстера С не будет уже иметь размерность времени, а будет иметь какую-то непонятную размерность: год или секунда в степени 0.99.

Что вряд ли может считаться приемлемым, т. к. эта константа определяла рост населения Земли на протяжении многих столетий и, несомненно, является фундаментальной постоянной роста и развития человечества как системы.

И, подобно тому как все фундаментальные физические постоянные имеют размерность, выражающуюся в целых или полуцелых степенях основных единиц измерения, постоянная Форстера С не может иметь размерность T 0.99. Она должна иметь размерность времени.Поэтому в законе ростанедопустимо даже небольшое отклонение p от единицы [36].

Если бы в результате вычислений, которые провел Форстер, показатель p оказался нецелым и далеким от единицы и/или если бы точность его оказалось не столь высока, то, учитывая большой объем используемых данных, можно было бы сделать вывод о том, что аппроксимация закона роста степенной функцией не может считаться удовлетворительной. В таком случае не было бы никакого степенного закона роста населения Земли, не было бы никакой постоянной роста и не возникало бы никакого вопроса о ее размерности. Закон роста в таком случае мог быть каким-то иным, возможно, экспоненциальным или даже описываться на языке теории случайных процессов.

Но даже если бы Форстер и его коллеги в результате своего исследования получили, что численность населения Земли с начала новой эры до 1960 года росла с хорошей точностью по закону экспоненты, то этот результат был бы не менее парадоксален, чем установленный ими факт гиперболического роста. Действительно, на историческом этапе своего роста, особенно последние два столетия, человечество не было «однородной популяцией», а представляло скорее конгломерат, образованный различными как по численности, так и по естественному приросту популяциями (коэффициент естественного прироста в разные времена, для разных народов мог различаться в разы, поэтому простое усреднение его по всей массе человечества не может считаться допустимым). А значит, по закону Мальтуса могли расти лишь отдельные страны или народы такие, как, например, Америка в период освоения территорий.

Следовательно, даже если предположить, что численность каждого народа, этноса росла экспоненциально – из этого вовсе не следует, по изложенным выше соображениям, что численность человечества также росла экспоненциально. Вывод здесь был бы точно таким же, как и в случае гиперболического роста: учитывая чрезвычайную простоту полученного закона и единую на всем историческом этапе постоянную роста – время удвоения численности – его нельзя было бы считать причинным законом, а сам рост – автокаталитическим, самоускоряющимся процессом.

Но возвратимся к гиперболе. Если бы получилось так, что показатель p оказался близок к единице, но не равен ей (p ≠ 1); близок в том смысле, что в результате обработки большого объема данных доверительный интервал для него оказался небольшим и включающим целочисленное значение, в данном случае единицу, то соображения размерности позволили бы сразу же считать, что p = 1.

Иначе пришлось бы вводить фундаментальную константу с непонятной и изменяющейся по мере поступления новых данных размерностью. У Форстера p ∈ [0.981, 0.999] и интервал немного, на одну тысячную, «не дотягивает» до единицы, но все равно нужно положить p = 1, т. к. его границы выбираются по предзаданной вероятности.

Вывод здесь простой: закон роста населения Земли не мог быть «примерно» гиперболическим с нецелым, близким к единице показателем pи говорить о гиперболическом тренде, гиперболической тенденции и «надэкспоненциальном» росте в применении к мировому демографическому процессу – неверно в принципе.

И еще один важный момент. Что означает утверждение о том, что в течение всей эпохи гиперболического роста показатель p в формуле закона роста был равен единице?

Оно не означает, конечно, что рост всегда шел в точности по гиперболе Форстера, что естественный прирост населения мира причинно определялся численностью и был в любой момент времени пропорционален квадрату численности. Даже если бы это было так – рост все равно не был бы гиперболическим по причине его неустойчивости.

По нашему мнению, такой рост может быть представлен как нестационарный случайный процесс похожий на случайное блуждание по вертикали, направленное на гиперболу роста, с постоянным дрейфом по горизонтали в координатах время-численность на графике гиперболы демографического роста.

Показатель p в таком случае в точности равен единице лишь в том смысле, что это случайное блуждание во все времена каким-то непонятным образом направлялось на теоретическую гиперболу демографического роста, у которой p = 1. Именно поэтому при обработке данных по методу наименьших квадратов усредненный показатель p и оказался столь близок к единице. Итак, почему p = 1? Тому есть две причины: