Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Иммануил Кант в своем знаменитом трактате по физической космологии «Всеобщая естественная история и теория неба» приходит к заключению о бесконечности Вселенной:

«Очевидно, что и она (Вселенная) не должна иметь никаких пределов… только так её можно соотнести с всесилием Бесконечного. Абсурдно было бы полагать, что Божество станет задействовать бесконечную малую часть своего могущества…»

«Наименование «бесконечность» прекрасно и, собственно говоря, эстетично. Выход за пределы всех понятий о числе волнует душу и, смущая ее, приводит в изумление».

К такому же выводу, основанному на всемогуществе Творца, приходит и Лейбниц [19]:

«Я в такой мере стою за актуальную бесконечность, что не только не допускаю, что природа боится ее, как обыкновенно выражаются, но и признаю, что природа всюду являет именно такую бесконечность, чтобы лучше отметить совершенство своего Творца».

Если бесконечность Канта и Лейбница является априорной, субъективной и трансцендентальной, то Гегель в своем труде «Наука логики» различает две бесконечности: «дурную», как простое отрицание конечного, и истинную бесконечность. Дурную бесконечность он описывает как «бессмысленное повторение», «скучное чередование», «повторяющуюся одинаковость»…

Такая бесконечность, по его мнению, не может быть объектом философского анализа, она непостижима, ее нет в наличии, она не выходит за пределы долженствования и остается в сфере конечного.

Иной характер у Гегеля носит его «истинная» бесконечность – категория, лежащая в основании философии. Прежде всего, она суть отрицание бесконечного прогресса. Она актуальна, т. е. конкретна и всецело налична. Поэтому все конечное есть лишь отблеск бесконечной идеи, преходящий момент в абсолюте. (Гегель, Соч., т. 1, М.Л.)

Положительным аспектом гегелевского понимания бесконечного является его убеждение в том, что бесконечность может быть понята только в единстве с конечным, что любое конечное содержит в себе бесконечное, что бесконечное осуществляется в конечном. Отрицательным же является признание им существования бесконечного Бога (мирового духа по Гегелю), который превалирует над всем конечным.

Диалектический материализм, исходящий из принципа материалистического монизма, определяет мир как движущуюся материю, которая как объективная реальность несотворима, вечна и бесконечна. Что подразумевает не простое (не имеющее границ) повторение одного и того же, а, напротив, неограниченное многообразие объектов, форм, связей, характеризуемых как бесконечные. От гегелевской «истинной» бесконечности оно отличается тем, что не отрицает реальности бесконечных во времени и пространстве материальных процессов.

В математике различают потенциальную и актуальную бесконечность. Когда говорят о том, что некоторая величина бесконечна потенциально, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена. Актуальная бесконечность рассматривается как реально существующая «здесь и сейчас» величина, не имеющая конечной меры. Такое разделение бесконечности на два типа было сделано еще Аристотелем.

Второй постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь то, что прямую можно непрерывно продолжать, – это потенциальная бесконечность; если же рассмотреть всю, уже начерченную бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной бесконечности.

Понятие потенциальной бесконечности возникает при построении натурального числового ряда. Если мы построим натуральное число n, то ничто не мешает нам построить число n + 1. Если мы дошли до шага k > n, то можно сделать и шаг k + 1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у нас может не хватить сил, физических возможностей, т. е. ресурсов на шаге t для того, чтобы сделать следующий шаг t + 1. Но если от этих ресурсных ограничений абстрагироваться, то получаем понятие потенциальной бесконечности.

Потенциальная бесконечность есть бесконечный процесс построения объектов, процесс, у которого нет последнего шага. В элементарной математике он ассоциируется с доказательством по методу математической индукции, в теории вычислимости – с проблемой остановки работы заданного алгоритма, у которой, согласно Тьюрингу, нет решения. По причине входа в бесконечный цикл иногда зависает компьютер. (Здесь и далее – по материалам статей Л.Н. Победина: «О бесконечном». [51])

Под актуальной бесконечностью понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и все элементы которой наличествуют одновременно. Например, мы будем иметь дело с актуальной бесконечностью, если пересчитаем весь натуральный ряд полностью. Другой пример – бесконечная совокупность точек отрезка, которая предстаёт перед нами в законченном виде.

Актуальная бесконечность представляет собой весьма сильную идеализацию. Действительно, она допускает не только возможность построения последующего объекта, если построен предыдущий, но и постулирует, что все возможные объекты уже построены и имеются в наличии (существуют одновременно).

Немецкий математик и философ XIX столетия Георг Кантор развил идеи Аристотеля. Актуально бесконечным Кантор называл такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой, в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида. Согласно Кантору, потенциально бесконечное означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.

В существование актуально бесконечных множеств верит большинство математиков. Более того, математики пытаются внушить веру в эту догму и нематематикам. Однако в реальном физическом мире бесконечности мы не обнаруживаем. И роль, которую это понятие может играть в математике, определяется лишь той пользой, которую оно может принести нашему мышлению.

Согласно Гильберту, «Идеальные бесконечно удаленные элементы приносят лишь ту пользу, что делают систему законов и знаний возможно более простой и обозримой». То же самое можно сказать, например, о понятии комплексного числа, понятии, не имеющем никакого «прообраза» в реальном мире, но очень полезном для самой математики.

В основании всех разделов современной математики лежит канторовская теория множеств, в которой имеет «право на жизнь» не только потенциальная, но и актуальная бесконечность. Эта «наивная» теория множеств наряду с ее важными для самой математики достижениями, приводит также и к многочисленным парадоксам, избавиться от которых можно лишь с помощью некоего искусственного приема, что не страхует ее от новых парадоксов.