Анатолий Молчанов - Население Земли как растущая иерархическая сеть

Состояние, в котором находятся основания математики, базирующиеся на классической теории множеств, можно охарактеризовать как вяло текущий кризис. Этот кризис, связанный с понятием актуальной бесконечности, возник еще в начале прошлого столетия.

Кризис ещё не пройден, хотя и затух. Большинство математиков не работают на уровне аксиоматических систем. Во всех разделах практической математики математические парадоксы, связанные с понятием актуальной бесконечности, не играют никакой роли.

В классической теории множеств все числа натурального числового ряда имеют «равные права». Она, например, принципиально не отличает число 10 и число всех атомов во Вселенной. Приложимость такой теории к физическим моделям, в которых изучаются новые эффекты, возникающие при различных конечных порядках, весьма проблематична.

Но такое свойство конечного проблематично и в самой математике, например, когда говорят, что любое доказательство имеет конечную длину и его можно закодировать геделевским номером (некоторым натуральным числом).

Все-таки доказательство длиной в 10 шагов и в 10 триллионов шагов качественно различаются, хотя оба они и конечны в канторовской теории. В качестве примера можно привести великую теорему Ферма, проблему трех красок и гипотезу Пуанкаре.

Для решения этих задач потребовались усилия нескольких поколений математиков. В таких и более сложных случаях возникает проблема ресурса. Не всякий ресурс может быть в реальности задействован; существуют задачи, требующие, хотя и конечного числа шагов, но столь большого количества ресурсов, что ответ на них так никогда и не будет получен.

На необходимость пересмотра аксиоматических основ теории множеств указывает П.К. Рашевский в обогнавшей свое время статье «О догмате натурального ряда», написанной еще в 1973 году [38].

Существуют различные пути выхода из кризиса, в котором находятся основания математики, но наиболее радикальной мерой является создание альтернативной теории множеств, т. е. новация на аксиоматическом уровне. Так, например, были построены все варианты неевклидовой геометрии. И вариант такой альтернативной теории, не отягощенный парадоксами классической теории множеств, уже существует.

Альтернативная теория множеств AST была создана в конце ХХ века чешским математиком П. Вопенка. В этой теории бесконечность возникает естественным путем из бытовых наблюдений и размышлений над такого рода вопросами как сколько песчинок находится на данном пляже? С одной стороны, понятно, что количество этих песчинок может быть выражено, хотя и очень большим, но конечным натуральным числом.

А, с другой стороны, какое это число, мы точно не знаем. Можно еще различить сто тысяч или миллион песчинок, но далее число песчинок все труднее поддается счету, и совокупность их становится нечеткой. Оказывается, что нечеткая совокупность и может играть роль бесконечного множества.

Альтернативная теория множеств Вопенка и его коллег разработана и признана (по крайней мере российскими математиками). Казалось бы, наличие в настоящее время двух теорий, двух точек зрения на бесконечное должно было вызвать бурные дискуссии, которые могли бы способствовать лучшему уяснению понятия бесконечность.

Однако этого не происходит. Причиной тому является тот факт, что основные идеи альтернативной теории множеств имеют явно парадигмальный характер, если под сменой парадигмы понимать изменение и переосмысление системы устоявшихся научных взглядов. Как показывает история, такой процесс никогда не проходит легко и безболезненно и зачастую требует отказа от привычных способов мышления и выработки новых.

Альтернативный взгляд на бесконечное не является только внутренним вопросом математики, а затрагивает мировоззренческие стороны естественных и гуманитарных наук, и, для того чтобы его принять, необходим серьезный философско-методологический анализ.

Схожая ситуация возникла с дарвиновской теорией эволюции. Необходимость смены эволюционной модели у честных ученых давно не вызывает сомнения, но вот только на ЧТО менять? – Ответа нет. Иное дело теория AST Вопенка: она существует, она признана и она, безусловно, предпочтительнее канторовской теории, множества в которой есть четко выделенные совокупности объектов.

Чего не скажешь о большинстве совокупностей реального мира, которые четко выделенными назвать никак нельзя. Например, не является таковой совокупность всех ныне живущих людей на Земле. (Как предствителей рода Homo, отличающихся от любого из ныне живущих или когда-либо живших представителя земной фауны.) Что представляется важным для теоретической демографии.

Ведь если бы мы должны были решить принадлежит ли к этой совокупности в данный текущий момент времени тот или иной человек, у нас возникли бы немалые сомнения. Так, например, можно ли причислить к этому множеству нерожденных детей, годовалых младенцев, не научившихся говорить, людей, находящихся под общим наркозом, в состоянии комы или клинической смерти?

То же можно сказать и о совокупности всех звезд во Вселенной, количество которых больше, чем число песчинок на всех пляжах мира. И множество которых также является нечетким, поскольку мы не только не в состоянии все их пересчитать, но даже не можем дать определенного ответа на вопрос: существует ли данная конкретная звезда в контрольный промежуток времени или она уже угасла, или взорвалась как сверхновая, или еще не зажглась в процессе сжатия газо-пылевого облака. Да и что считать звездой? Входят ли в это множество, например, нейтронные звезды и черные дыры?

Точно так же не является четко выделенной совокупность всех биологических видов, существующих в природе, съедобных блюд, интересных книг, красивых цветов. Иначе говоря, почти всегда, когда мы создаем в своем воображении множество объектов, обладающих тем или иным свойством, эта совокупность выделяется нечетко.

П. Вопенка назвал такие нечеткие совокупности классами, и главная идея AST заключается в том, чтобы возложить на эти нечеткие совокупности ту роль, которую играет понятие бесконечность в классической математике. Поэтому альтернативная (естественная) бесконечность Вопенка является чем-то неопределенно конечным и поэтому в AST нет места парадоксам классической теории множеств.

«Таким же естественным понятием AST является понятие горизонта. Каждый наш взгляд, куда бы он ни был направлен, всегда чем-то ограничен. Либо на его пути оказывается твердая граница, четко его пресекающая, либо он ограничен горизонтом, по направлению к которому утрачивается ясность нашего видения.