Хаим Шапира - Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Зенон. Хорошо. Напрасно вы так старались. Я согласен с вами, что длина точки равна нулю. Но теперь я хочу задать один маленький вопрос: как отрезок длиной, скажем, 17 см может состоять из точек нулевой длины? Мы выучили еще в первом классе, что сумма любого количества нулей всегда равна нулю. Повторю свой вопрос: как множество точек, имеющих нулевую длину, может образовывать отрезок длиной 17 см? Жду разъяснений и ответов.

Зилия. Мне нужно будет немного подумать. Я отвечу тебе на следующем уроке.

Зенон. Не спешите, я подожду. Вот еще одна похожая задача, которая может помочь вам в поисках ответа. Квадрат состоит из бесконечного количества линий, каждая из которых имеет нулевую площадь. Как может быть, что этим линиям удается заполнить квадрат, имеющий положительную площадь? Может быть, вам следует пойти обсудить этот вопрос с Зилотисом, учителем физики. Спросите его на языке, который он понимает: «Как может быть, что стрела, пролетающая за время t = 0 расстояние s = 0, может перемещаться из одного места в другое? Разве неверно, что в любой произвольный момент она преодолевает расстояние, равное нулю? Можно сфотографировать стрелу – да, я знаю, что фотография еще не изобретена, – и увидеть, что в любой конкретный момент она находится в состоянии покоя. Возможно, время не состоит из моментов? Возможно, если взять достаточное количество нулей, их сумма может не быть равной нулю?» Ну ладно, я пойду проверять свою теорию при помощи пращи.

(Звенит звонок. Все ученики радостно выбегают из класса на школьный двор. Учительница быстро скрывается в учительской, чтобы выпить капельку узо и слегка расслабиться. Только Зенон остается в классе, размышляя о стрелах, о пращах и о черепахах, ползущих быстрее прославленных легконогих героев. Ему ясно, что он все равно не сможет выйти из класса, потому что для этого ему нужно сначала пройти половину расстояния…)

Французский философ еврейского происхождения Анри-Луи Бергсон (1859–1941) оказал огромное влияние на философскую мысль первой половины XX в. Он был убежден, что человеческий разум не может и никогда не сможет осознать апории Зенона. По мнению Бергсона, единственное, что можно сделать, – это сформулировать практический подход для сосуществования с ними.

Однако другие французы относились к Зенону и его апориям с меньшей терпимостью. Например, выдающийся математик, физик-теоретик и философ науки Анри Пуанкаре (1854–1912) заявил следующее:

Зенон был идиотом, и только идиоты могут заниматься его апориями.

Англичанин Бертран Рассел не был согласен с французами. В книге «Основания математики» [35] Этот трехтомный труд был написан Расселом в соавторстве с Альфредом Н. Уайтхедом. Полный русский перевод вышел в 2005–2006 гг. в изд-ве Самарского ун-та. (1910–1913) Рассел называл апории Зенона «неизмеримо тонкими и глубокими».

Гипотеза Пуанкаре – одна из семи открытых математических проблем, которые Математический институт Клэя внес в 2000 г. в список «Задач тысячелетия». На момент написания этой книги это единственная решенная задача из тех семи.

Эту задачу решил блестящий российский математик еврейского происхождения Григорий Перельман (р. 1966). За доказательство гипотезы Пуанкаре Перельмана должны были наградить медалью Филдса и «Премией тысячелетия» Института Клэя, составляющей миллион долларов. Я говорю «должны были наградить», потому что Перельман отказался от обеих премий. «Деньги и слава меня не интересуют. Важна только точность доказательства», – объяснил Перельман {23} 23 23 марта 2010 г. благотворительная организация The Warm House («Теплый дом») опубликовала в интернете открытое письмо Перельману с просьбой пожертвовать эти деньги ей. Впоследствии Институт Клэя учредил на средства премии, присужденной Перельману, «кафедру Пуанкаре» – должность для молодых, перспективных математиков в парижском Институте Анри Пуанкаре. .

Он даже не опубликовал статьи со своим доказательством. О нем написали другие математики.

Перельман вообще известен отказами от премий и наград. В свое время он отказался и от престижной премии Европейского математического общества, заявив, что те, кто присуждает эту премию, не способны понять и оценить его работы.

В 2003 г., когда ему было всего 37 лет, Перельман отошел от исследовательской работы в математике. Сейчас он нигде не работает и живет с матерью в Санкт-Петербурге.

Великие математики – от Зенона до Ньютона, от Галуа до Перельмана – по большей части бывают совершенно непохожими на обычных людей. Возможно, именно это отчасти и делает их великими математиками.

Но нам пора вернуться к теме нашей беседы.

После того как Ахиллесу так и не удалось обогнать черепаху, он решил начать интенсивные тренировки. Он явился на олимпийский стадион и разметил себе беговую дорожку, которая начиналась в точке А и заканчивалась в точке В . Однако боги – которых было бесконечное количество – решили помешать Ахиллесу добиться цели. Первый бог решил не позволить Ахиллесу пробежать половину дистанции, второй бог решил не позволить Ахиллесу пробежать четверть дистанции, третий бог – одну восьмую… и так далее.

В предположении, что эти боги могут сделать все, что захотят, докажите, что Ахиллес не сможет даже начать бежать к точке В .

Если вы пришли к выводу, что Ахиллес вообще не сможет сдвинуться с места, почему это так? Пока Ахиллес стоит на линии старта, ни один из богов ему не мешает. Так что или кто останавливает нашего (почти) непобедимого воина? {24} 24 Я нашел этот пример в книге «Бесконечность» (Infinity, 1964) Хосе Бенардета.

Представьте себе, что в состязание Ахиллеса с черепахой вносится небольшое изменение. Каждый раз, когда Ахиллес добирается до точки, в которой раньше была черепаха, оба бегуна останавливаются и отдыхают минуту (черепахе такой отдых очень нужен). В этом случае Ахиллес догонит черепаху через бесконечное число минут – то есть никогда ее не догонит. Сколько же вариаций у этой темы!

Назавтра после забега стаккато чрезвычайно обескураженный Ахиллес решил все же продолжать тренироваться. Он решил начать тренировку в два часа дня. Без одной минуты два Ахиллес явился на стадион. Однако у героя Троянской войны никогда ничего не выходит просто. Бесконечных олимпийских богов привел в ярость шум, поднятый воином, как раз когда они готовились к своей божественной послеполуденной сиесте, и они решили разделаться с ним, поразив его в пятку отравленной стрелой. Первый бог решил выстрелить в Ахиллеса через полминуты после двух часов, а второй бог решил убить его в другое время – через четверть минуты после двух. Третий бог предпочел запланировать это злодеяние на одну восьмую минуты после двух… ну и так далее.