Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема .

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду .

На графике франкенфункции Вейерштрасса каждая отдельная точка имеет острый угол.

Пытаетесь представить это? Я тоже, друзья мои, я тоже! Самое лучшее, что я могу предложить, – это некоторое приближение: первые несколько шагов по эволюционной лестнице, которые через бесконечное восхождение ведут к демоническому дикобразу Вейерштрасса.

Давайте разберемся с природой этого ужаса. Это единственная, неразрывная кривая без скачков и пробелов. Но она настолько зубчатая и непутевая, что ни человеческая рука, ни графическое программное обеспечение не могут ее нарисовать. Этот находящийся за границами воображения монстр, как пишет математик Уильям Данхэм, «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа».

Эмиль Пикар, французский математик, выражал глубокое сожаление по поводу этого изменения. «Если бы Ньютон и Лейбниц могли только подумать, что неразрывные функции не обязательно должны иметь производную, – заверял он, – дифференциальное исчисление никогда бы не было изобретено». Еще один французский математик Шарль Эрмит высказался еще более беспощадно: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления, которое представляют собой функции, не имеющие производных».

В истории математического анализа дьявол Вейерштрасса с заостренными отметинами на лице олицетворяет собой точку, где произошел резкий разворот, внезапное изменение направления.

В такие времена может показаться, что математика вначале потеряла голову где-то в облаках, а потом потеряла облака под своим собственным задом. Кого заботят невозможные детали, все эти абстракции, которые нельзя даже представить? Не охотился ли Вейерштрасс из любви к искусству всего лишь за каким-то философским понятием, рассчитанным на дешевый успех, презирая главное предписание о том, какой должна быть математика? Ну, вы знаете, полезной.

Виновен по всем пунктам. «Это действительно так, – говорил Вейерштрасс, – нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».

И тем не менее, если вы с детства привыкаете к существованию резких поворотов, возможно, вы увидите, куда они ведут. Эта недифференцируемость повсюду, характерная черта, которая делает шипастого питомца Вейерштрасса таким пугающим и нереальным, особенность, которая ошарашила целое поколение математиков… В общем, именно так и работает наша модель броуновского движения.

Путь частицы при броуновском движении не просто включает в себя несколько углов. Вся их жизнь – острые углы. Каждое мгновение всюду присутствующая пыль делает новое и совершенно непредсказуемое движение в безумном танце. Поскольку производная – всего лишь скорость, броуновское движение – это что-то вроде неподвижного движения, глухой отголосок деятельности, которую традиционный математический анализ никак не может описать, разве что сказать «Вау!», «Ого!» или «Что?!».

Мне нравится необычность броуновского движения – пути, который ни одна рука не может зарисовать, движения, которое нельзя обозначить никакой скоростью. Именно поэтому власти позволили Броуну скрыться с фрагментом Большого сфинкса? Возможно, они чувствовали, что его работа, как загадки сфинкса и математический анализ, была игрой парадоксов и древних головоломок – одновременно совершенно невозможной и полностью реальной.

Где-то в далеком будущем, когда проводить отпуск с семьей на Марсе стало обычным делом, а то, что кто-то носит зеленые волосы, припорошенные жемчужной пылью, никого не удивляло, жила-была счастливая в браке жена по имени Оона. Ее муж Джик был «самым прекрасным мужчиной во всей Солнечной системе», хотя главным доказательством этого заявления было то, что «он всегда помнил о годовщинах», так что, возможно, конкурентов у него было не очень много. Далее мы узнаем, как Джик прилагал усилия для того, чтобы «поделиться своими интересами», и регулярно давал Ооне уроки математики.