Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Спираль Улама.

Самая полезная из известных теорем о распределении простых чисел так и называется – “теорема о распределении простых чисел” – и по праву считается одним из величайших достижений в теории чисел. Если в двух словах, она гласит, что при любом достаточно большом числе N количество простых чисел, меньших N, приблизительно равно N , деленному на натуральный логарифм N . (Натуральный логарифм числа x – это показатель степени, в которую нужно возвести число e , равное 2,718…, чтобы получить x .) Определить, где именно находится следующее простое число, по этой формуле невозможно, зато она дает довольно точное представление о том, как много в заданном интервале простых чисел, при условии что он достаточно велик.

В отличие от теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел, которую, как мы видели, можно доказать за минуту простыми словами, на доказательство теоремы о распределении простых чисел ушло целое столетие. Впервые, в 1792 или 1793 году, закономерность заметил немец Карл Гаусс, еще подростком, а спустя несколько лет, независимо от него, – француз Адриен-Мари Лежандр. Математики, конечно, уже давно знали, что интервалы между простыми числами увеличиваются с ростом значений, но после того, как во второй половине XVIII века были опубликованы расширенные таблицы простых чисел и более точные логарифмические таблицы, поиски конкретных формул, описывающих это уменьшение плотности, оживились. Гаусс и Лежандр обратили внимание, что плотность простых чисел близка к величине, обратно пропорциональной логарифму. Дальнейшее важное развитие эта работа по поиску функции распределения получила в трудах русского математика Пафнутия Чебышёва в период с 1848 по 1850 год. Но самый важный прорыв произошел в 1859 году, когда немец Бернхард Риман опубликовал свою статью “О числе простых чисел, не превышающих данной величины” (единственную его статью на данную тему). На восьми страницах ученый изложил свое предположение, позже названное гипотезой Римана, которое по сей день будоражит умы математиков, пытающихся его доказать. Считается, что Давид Гильберт как-то сказал: если ему суждено будет заснуть на тысячу лет, первое, чем он поинтересуется после пробуждения, – доказана ли уже гипотеза Римана. В своей книге о теории, на которой основано предположение Римана, американский математик Гарольд Эдвардс пишет:

На сегодняшний день это, бесспорно, самая известная математическая проблема, продолжающая привлекать внимание лучших математиков – не только из-за того, что ее так долго не удается решить, но также потому, что она кажется соблазнительно доступной, а ее решение, вероятно, приведет к появлению новых перспективных методик.

О том, какое огромное значение имеет гипотеза Римана для науки, говорит тот факт, что она вошла в число семи “задач тысячелетия”, определенных Математическим институтом Клэя, – за решение каждой назначена премия в 1 000 000 долларов. Это одна из двух проблем, которые особенно хотелось бы решить Агниджо. Вторая – проблема равенства классов P и NP (мы обсуждали ее в пятой главе). Кроме того, гипотеза Римана – единственная “задача тысячелетия”, что также вошла и в составленный Давидом Гильбертом список из двадцати трех кардинальных проблем математики, представленный им на II Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года.

Чтобы понять принцип распределения простых чисел, Риман применил методику недавно появившегося раздела математики – комплексного анализа. Как явствует из названия, этот раздел изучает различные способы работы с комплексными числами – теми, что состоят из действительной и “мнимой” частей, например 5 – 3 i , где i – квадратный корень из –1. В основе комплексного анализа лежит изучение комплексных функций, то есть попросту правил, с помощью которых можно одно множество комплексных чисел преобразовать в другое. Еще в 1732 году великий швейцарский математик Леонард Эйлер, чье творчество поражает своим объемом и разносторонностью (его научное наследие насчитывает более 31 000 страниц), ввел в математическую науку доселе неизвестное понятие дзета-функции. Она представляет собой разновидность бесконечного ряда – бесконечной суммы элементов, которая, в зависимости от конкретных чисел, составляющих эти элементы, может сходиться или не сходиться к конечному значению. При определенных условиях дзета-функция сводится к ряду, похожему на гармонический (1 + S + ⅓ + j + …), который изучался математиками с античных времен, когда Пифагор и его ученики были одержимы идеей подчинить вселенную законам чисел и музыкальной гармонии. Риман распространил эйлеровскую дзета-функцию на комплексные числа – а потому сегодня она известна также как дзета-функция Римана.

В своей знаменитой статье 1859 года Риман предложил улучшенную, как он считал, формулу для оценки количества простых чисел вплоть до заданного числа. Однако для применения формулы нужно было знать, при каких значениях дзета-функция Римана равна нулю. Дзета-функция Римана определена для всех комплексных чисел вида x + iy , кроме случаев, когда x = 1. Функция равна нулю при всех отрицательных четных целых значениях (–2, –4, –6 и так далее), но для решения вопроса о распределении простых чисел они не представляют интереса, поэтому эти нули называют “тривиальными”. Риман понял, что функция также имеет бесконечное число нулей в критической полосе между x = 0 и x = 1 и что эти “нетривиальные” нули симметричны относительно прямой x = S. Его знаменитая гипотеза гласит, что все нетривиальные нули комплексной дзета-функции как раз находятся точно на этой прямой.

Если гипотеза Римана верна, из этого будет следовать, что в пределах, установленных теоремой о распределении простых чисел, те распределены максимально регулярно. Другими словами, допуская, что есть некая доля “шума” или “хаоса”, которая мешает точно предсказать, где появится следующее простое число, гипотеза Римана говорит нам, что шум этот очень четко регламентирован, что кажущаяся анархия в рядах простых чисел на деле тщательно срежиссирована. Можно для примера представить себе игральную кость со множеством граней, у которой вероятность выпадения простого числа составляет 1/log n . Предположим, что для каждого n , равного или большего 2, вы бросаете кость n раз. В идеале простое число должно выпасть n /log n раз. Но идеал, как известно, недостижим, поэтому в реальности всегда будет отклонение от ожидаемого значения – погрешность. Величина этой погрешности определяется правилом, которое называют законом больших чисел. В гипотезе Римана утверждается, что распределение простых чисел отклоняется от n /log n не больше, чем это следует из закона больших чисел.