Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Простое число – это всего лишь натуральное число, которое делится без остатка только на само себя и на единицу. Казалось бы, ничего особенного в таком свойстве нет, и тем не менее простые числа в математике – на особом положении. Не будет преувеличением сказать, что простые числа связаны с некоторыми из величайших неразгаданных тайн в этой науке и играют важную роль в нашей повседневной жизни. Например, каждый раз, когда вы пользуетесь кредитной карточкой, компьютеру банка нужно удостовериться, что вы ее владелец. Делает он это с помощью алгоритма, который превращает очень большое число в однозначно определяемое произведение двух заранее известных простых множителей. От решения таких странных задачек во многом зависит наша финансовая безопасность.

Первые несколько простых чисел – это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и 29. Все числа, не относящиеся к простым, называют составными. Само число 1 простым не считается (а могло бы), поскольку иначе возникли бы сложности с рядом полезных теорем, в том числе с той, которая настолько важна, что ее величают “основной теоремой арифметики”. Она гласит, что любое число можно представить в виде произведения простых чисел единственным способом (если не учитывать порядок следования множителей). Например, 10 = 2 × 5, а 12 = 2 × 2 × 3. Если бы единица считалась простым числом, то таких способов было бы бесконечное множество – ведь можно сколько угодно раз последовательно умножать число на единицу, результат от этого не изменится.

В природе простые числа встречаются в самых удивительных и неожиданных местах. Один из видов цикад, Magicicada septendecim , имеет 17-летний жизненный цикл. Все особи этого вида проводят в стадии личинки ровно семнадцать лет, после чего вся популяция одновременно вылупляется из своих оболочек для спаривания. Другой вид, Magicicada tredecim , имеет 13-летний жизненный цикл. Существует множество теорий, почему в процессе эволюции у этих цикад выработался жизненный цикл, выражающийся простым числом лет. Самая популярная заключается в том, что существовал хищник, тоже появлявшийся раз в определенное количество лет. Если бы цикады достигали зрелости в один год с питающимися ими животными, весь выводок этих насекомых, скорее всего, тут же уничтожался бы. Выживание цикад зависело от способности выработать жизненный цикл, минимально пересекающийся с циклом хищников. Если бы, например, цикл развития того или иного вида составлял пятнадцать лет, то хищники вполне могли бы появляться каждые три года или пять лет и пожирать выводок насекомых всякий раз при его вылуплении; либо появляться каждые шесть или десять лет и уничтожать новое поколение цикад через раз. И в том и в другом случае данный вид цикад в скором времени просто вымер бы. Другое дело, когда жизненный цикл цикад длится семнадцать лет: хищники с более короткой продолжительностью жизни (а по имеющимся данным, гипотетические хищники жили не так долго, как цикады) шестнадцать своих циклов не будут заставать время появления лакомой добычи и в конце концов просто вымрут от истощения. Такие хищники давно бы уже исчезли с лица земли, оставив цикад с их жизненным циклом, выражающимся простым числом лет, живыми-здоровыми.

Цикада.

Известно, что количество простых чисел бесконечно, то есть не существует самого большого простого числа. Евклид доказал это еще две тысячи лет назад. Другое, но очень простое доказательство таково: предположим, что ряд простых чисел не бесконечен. Тогда можно было бы все простые числа перемножить: 2 × 3 × 5 × 7 и так далее, вплоть до самого большого из них. Обозначим получившееся гигантское произведение буквой P и прибавим к нему 1. Теперь у нас есть только два варианта: либо число P + 1 простое, либо оно делится на какое-либо другое, меньшее простое число. Но если разделить P + 1 на любое из простых чисел в нашем списке (а он, как мы условились, включает в себя все существующие простые числа), в остатке всегда останется 1. Это значит, что либо число P + 1 тоже простое, либо оно имеет простой делитель, которого нет в списке. Таким образом, начав с предположения, что существует некое наибольшее простое число, мы пришли к противоречию. В логике и математике этот прием называется “доказательством от противного” (частный случай “доведения до абсурда”, reductio ad absurdum ) – когда несостоятельность какого-либо утверждения доказывают, демонстрируя абсурдность его следствий. Значит, исходное предположение неверно, а стало быть, истинно противоположное ему утверждение: существует бесконечное множество простых чисел. Это последнее утверждение называется теоремой Евклида.

В древности математикам нелегко было высчитывать простые числа. В классической Греции точно знали, что 127 – простое, так как это вытекает из “Начал” Евклида. Возможно, были известны и другие, бо́льшие простые числа – до нескольких сотен, а то и тысяч. В эпоху Возрождения были найдены и существенно бо́льшие, среди них и 524 287, рассчитанное математиком Пьетро Катальди из Болоньи, известным охотником за простыми числами. После публикации трудов французского монаха XVII века Марена Мерсенна, посвятившего немало лет изучению чисел вида 2 n – 1, где n – натуральное (называемых сегодня “числа Мерсенна”), поиск простых чисел сосредоточился именно в этом направлении. Числа Мерсенна – главные подозреваемые, поскольку вероятность, что любое выбранное наугад число из их ряда окажется простым, гораздо выше, чем у других случайных нечетных чисел аналогичной величины (хотя далеко не все числа Мерсенна простые). Первые несколько простых чисел Мерсенна (то есть чисел Мерсенна, которые одновременно являются простыми) – это 3, 7, 31 и 127. Находка Катальди – это девятнадцатое из чисел Мерсенна ( M 19) и седьмое из простых чисел Мерсенна. Прошло почти полтора столетия, прежде чем швейцарский математик Леонард Эйлер нашел в 1732 году большее простое число. Еще полтора века спустя, в 1876 году, рекорд поставил Эдуард Люка, доказавший, что 127-е число Мерсенна ( M 127), равное приблизительно 170 ундециллионам [32] Ундециллион – это триллион триллионов триллионов, или 10 36 . – Прим. науч. ред. , также является простым.