Владимир Арнольд - Теория катастроф

Таким образом, в теории критических точек функций появляются группы отражений: они составляются преобразованиями монодромии при обходе вокруг критических значений.

Теория групп отражений представляет собой хорошо разработанный отдел математики. Рассмотрим, например, на плоскости два зеркала. Если угол между ними несоизмерим с 2π, то число разных преобразований, полученных комбинированием отражений в этих зеркалах, бесконечно, а если соизмерим — то конечно. Точно так же в трехмерном пространстве найдены все расположения проходящих через 0 зеркал, порождающие конечное число преобразований; классификация таких расположений известна и при любой размерности пространства.

Вычисление групп монодромий простейших вырожденных критических точек функций вскрыло глубокие связи между теориями критических точек функций, каустик и волновых фронтов, с одной стороны, и теорией групп, порожденных отражениями — с другой.

Рис.81. Дискриминант группы симметрий икосаэдра типичная особенность графики многозначной функции времени на поверхности с краем

Проявления этой связи иногда выглядят довольно неожиданно. Рассмотрим, например, задачу об обходе препятствия, ограниченного кривой общего положения с обычной точкой перегиба на плоскости. Линии уровня времени в этой задаче — эвольвенты кривой. Эти эвольвенты имеют особенности на кривой (порядка 3/2) и на касательной перегиба (порядка 5/2). Оказывается, перестройкой особенностей эвольвент при прохождении точки перегиба управляет группа симметрий икосаэдра. Отсюда выводится, например, что график функции времени в окрестности точки перегиба гладкой заменой координат приводится к нормальной форме вроде ласточкиного хвоста. А именно, нормальной формой является поверхность многочленов х 5+ ах 4+ bх 2+ с с кратными корнями (или поверхность касательных к кривой (t, t 3, t 5)A рис. 81, О. В. Ляшко, О. П. Щербак).

Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф: наряду с конкретными исследованиями типа работ Зимана имеются скорее философские труды математика Р. Тома, который первым осознал всеобъемлющий характер работ Уитни по теории особенностей (и предшествовавших им работ Пуанкаре и Андронова по теории бифуркаций), ввел термин "теория катастроф" и занялся широкой пропагандой этой теории.

Качественной особенностью работ Тома по теории катастроф является их своеобразный стиль: предчувствуя направление будущих исследований, Том не располагает не только доказательствами, но и точными формулировками своих результатов. Зиман, горячий поклонник этого стиля, замечает, что смысл слов Тома становится понятным лишь после того, как вставишь 99 своих строк между каждыми двумя строками Тома.

Чтобы читатель мог составить об этом стиле собственное представление, приведу здесь образчик из обзора перспектив теории катастроф, сделанного Томом в 1974 г.:

"В философском, метафизическом плане теория катастроф не может принести ответа на великие проблемы, волнующие человека. Но она поощряет диалектическое, гераклитовское видение Вселенной, видение мира как театра непрерывной борьбы между "логосами", между архетипами. Теория катастроф приводит нас к глубоко политеистическому взгляду: во всем следует различать руку Богов. И здесь, быть может, теория катастроф найдет неизбежные пределы своей практической применимости. Она разделит, быть может, участь психоанализа. Нет сомнения, что основные психологические открытия Фрейда верны. И все же знание этих фактов принесло мало практической пользы (при лечении психических заболеваний). Как герой Илиады не мог противостоять воле бога, скажем Посейдона, не опираясь на мощь другого божества, скажем Афины, так и мы не сможем ограничить действие архетипа, не противопоставляя ему архетипа- антагониста в борьбе с неопределенным исходом. Те самые причины, которые нам позволяют располагать нашими возможностями действовать в одних случаях, осуждают нас на бессилие в других. Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце".

Прекрасные результаты теории особенностей, к счастью, не зависят от мрачной мистики теории катастроф. Но и в теории особенностей, как и во всей математике, есть нечто таинственное: это удивительные совпадения и связи между далекими на первый взгляд предметами и теориями.

Одним из примеров такого совпадения, остающегося загадочным (хотя кое-что и понято), является так называемая A, D, Е-классификация. Она встречается в таких разных отделах математики, как, например, теории критических точек функций, алгебр Ли, категорий линейных пространств, каустик, волновых фронтов, правильных многогранников в трехмерном пространстве и кристаллографических групп, порожденных отражениями.

Общим во всех этих случаях является требование простоты , или отсутствия модулей . Простота означает следующее. Каждая классификация есть разбиение некоторого пространства объектов на классы. Объект называется простым, если все близкие к нему объекты принадлежат конечному набору классов.

Пример 1 . Назовем два набора проходящих через точку 0 на плоскости прямых эквивалентными , если один из них переходит в другой при линейном преобразовании (х, у) → (ах + by, сх + dy). Любой набор трех прямых прост (любой набор трех различных прямых эквивалентен набору х = 0, у = 0, х + у = 0). Любой набор четырех проходящих через 0 прямых не прост (докажите!).

Пример 2. Будем классифицировать критические точки (комплексных) гладких функций, относя функции в один класс, если они сводятся одна к другой гладкой (комплексной) локальной заменой переменных. Список простых особенностей (скажем, для функций трех переменных) состоит из двух бесконечных серий и трех исключительных особенностей :

А k= х 2+ у 2+ z k+1, k ≥ 1;

D k= х 2+ y 2z + z k-1, к ≥ 4;

Е 6= x 2+ у 3+ z 4,

Е 7= x 2+ у 3+ yz 3,

Е 8= х 2+ у 3+ z 5.

Пример 3 . Колчаном называется набор точек и соединяющих их стрелок. Если каждой точке сопоставлено линейное пространство (точка, прямая, плоскость,...), а каждой стрелке — линейное отображение (соответствующего началу стрелки пространства в соответствующее концу), то говорят, что задано представление колчана . Два представления называются эквивалентными, если одно переходит в другое при подходящих линейных преобразованиях пространств.