Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Ввиду сложности игр подобного типа, в этой главе математические аспекты неизбежно будут смешиваться с психологическими и даже моральными. Поэтому решения часто не будут строгими решениями с точки зрения математики, а будут представлять лишь возможные исходы, которые зависят от действий игроков. Несмотря на это, подобные игры вызывают больший интерес, чем описанные в прошлой главе, так как намного чаще встречаются в реальной жизни. В реальных конфликтных ситуациях соперничество и сотрудничество очень часто сочетаются.

Можно сказать, что все множество ситуаций, изучаемых в теории игр, можно разделить на две полярные группы: игры с нулевой суммой, основанные на чистом соперничестве, и игры, основанные на чистом сотрудничестве. И те и другие легко решить, по крайней мере в теории. Игры, основанные на чистом соперничестве, рассматривались в прошлой главе. Аналогично можно анализировать ситуации, основанные на чистом сотрудничестве: действия пилота раллийного автомобиля и его штурмана, действия партнеров в танце, действия пилота самолета и диспетчера — это всё примеры ситуаций, где оба игрока имеют одну цель, и решение состоит в том, чтобы объединить усилия (эффективно координировать ходы).

Прочие игры для двух лиц, о которых рассказывается в этой главе, находятся между этими двумя крайностями. Такие игры сложнее, поскольку интересы игроков частично противоположны, а частично совпадают, хотя на первый взгляд кажется, что это не так. Представим, например, продавца квартиры и возможного покупателя. Оба заинтересованы в заключении сделки (в сотрудничестве), но не могут сойтись в цене (конфликт). Можно также рассмотреть пример слияния двух компаний или противостояние двух стран, которые ведут войну. Во всех подобных случаях большинство стратегий подразумевают конфликт, но есть возможность прийти к соглашению или подписать пакт, который частично устроит обе стороны: можно заключить перемирие или соглашение о неиспользовании ядерного оружия.

В 1944 году была опубликована работа фон Неймана и Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», в которой излагался алгоритм поиска оптимальных решений в играх с нулевой суммой для двух лиц. Именно это событие считается отправной точкой теории игр. Основным предметом исследований новой теории стали кооперативные игры и анализ оптимальных стратегий в случаях, когда оппоненты могут прийти к соглашению относительно выбранных стратегий.

В 50-е годы XX века в теории игр произошел заметный прорыв. Появились первые исследования дилеммы заключенного, Джон Нэш определил понятие оптимальной стратегии для игр со множеством игроков, когда оптимальную стратегию нельзя определить заранее (подобная ситуация известна как равновесие Нэша). Этот алгоритм применим для некооперативных игр, но может быть расширен и для кооперативных. В это же время теория игр впервые начала применяться в других областях помимо экономики, например, в философии и политологии. Позднее, уже в 1970-е годы, теория игр начала применяться в биологии в основном благодаря работам Джона Мейнарда Смита, который ввел понятие эволюционно стабильной стратегии.

Фотография Оскара Моргенштерна, который вместе с Джоном фон Нейманом является создателем теории игр.

Чтобы показать разницу между играми с нулевой и с ненулевой суммой, рассмотрим ситуацию, связанную с распространением рекламы. Две компании, А и Б, хотят прорекламировать свою продукцию. В обе компании поступает предложение от телеканала: рекламу можно показать днем (когда ее увидят 40% телезрителей) или вечером (тогда ее увидят 60% зрителей), причем можно выбрать только один из предложенных вариантов. Известно, что дневная и вечерняя аудитории не пересекаются. Если обе компании закажут рекламу на одно и то же время, то их продукцию купят 30% зрителей, включивших телевизор в это время, и никто из тех, кто смотрел телевизор в другое время. Если же компании закажут рекламу на разное время, то охватят 50% аудитории, которая в тот момент находилась у экранов. Какое решение оптимально для каждой компании? Будет лучше проконсультироваться с другой компанией или скрыть свои намерения?

Эту игру можно выразить в виде платежной матрицы, значения которой будут соответствовать доле аудитории. Однако в этом случае в каждую ячейку таблицы нельзя поместить какое-то одно значение, так как выигрыш одной компании не равен проигрышу другой и каждая компания будет иметь свою выгоду. По этой причине элементами матрицы будут пары значений. Первое число в каждой паре — выгода компании А, второе — выгода компании Б в зависимости от стратегий, выбранных обеими компаниями.

Если А и Б запустят рекламу днем, то каждой компании достанется 12% аудитории (30% от 40%). Если рекламные ролики выйдут в разное время, то результаты будут симметричны: если А запустит рекламу днем, а Б — вечером, то А получит 20% (половину от 40%), компания Б — 30% (половину от 60%). Если обе компании в этом случае сменят стратегии на прямо противоположные, противоположными окажутся и результаты.

Для анализа этой игры аналогично тому, как мы это делали ранее, нужно рассматривать две матрицы (с выигрышами каждого игрока), учитывая, что каждый игрок стремится максимально увеличить свой выигрыш в соответствии с платежной матрицей.

С учетом того, что матрицы симметричны и что стратегии А указаны в строках, а стратегии Б — в столбцах, анализ обеих матриц проводится аналогичным образом. Можно выполнить те же действия, что и для игр с нулевой суммой: седловая точка отсутствует (максиминное значение равно 18, минимаксное — 12), поэтому нужно найти смешанную стратегию, чтобы определить цену игры для игрока А. Эта стратегия такова: нужно использовать стратегию 1 (выпускать рекламу днем) с вероятностью 3/5 и стратегию 2 (выпускать рекламу ночью) с вероятностью 2/5. Таким образом мы получим цену 19,2 (средний выигрыш за партию). Аналогично для игрока Б (с учетом симметрии): в каждых пяти партиях он должен произвольным образом два раза выбрать стратегию 1 и три раза — стратегию 2, при этом его средний выигрыш будет тем же. Пока что нет никаких отличий от прошлых примеров, и читатель может посчитать, что мы определили оптимальную стратегию для каждого игрока и что игра решена.