Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Позже историки пришли к выводу, что партия эта завершилась вничью. Ньютон и Лейбниц разработали свои методы фактически независимо. В принципе, они оба имели некоторое представление о работе друг друга, но никто из них определенно не заимствовал чужие идеи. Уже лет 100, если не больше, математики, включая Ферма и Валлиса, вокруг них кругами ходили. К несчастью, в результате этого бессмысленного спора следующие лет 100 или около того британские математики попросту игнорировали все, что делали их континентальные коллеги, – и очень жаль, поскольку именно там в это время в основном развивалась математическая физика.

При создании «Начал» Ньютон пользовался более ранними работами других ученых, в первую очередь Кеплера (его фундаментальные законы планетарного движения позволили Ньютону сформулировать собственный закон гравитации) и Галилея, который экспериментально исследовал движение падающего тела и заметил элегантные закономерности в полученных числовых данных. Он опубликовал свои открытия в 1590 г. в трактате «О движении». Это побудило Ньютона сформулировать три общих закона движения. Первое издание «Начал» вышло из печати в 1687 г.; затем последовали дальнейшие издания, с дополнениями и исправлениями. В 1747 г. Алекси Клеро написал, что эта книга «ознаменовала собой эпоху великой революции в физике». В предисловии Ньютон так объяснил главную тему своей книги:

…рациональная механика есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений… Поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления [13] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – М.: Наука, 1989. .

Это было дерзкое заявление, но, если посмотреть задним числом, его оптимизм был полностью оправдан. За следующее столетие первые озарения Ньютона выросли в новую научную область – математическую физику. Многие уравнения, полученные в этот период, используются до сих пор в приложении к теплу, свету, звуку, магнетизму, электричеству, гравитации, колебаниям, геофизическим явлениям и т. п. Мы вышли за пределы «классического» стиля в физике, познакомились с теорией относительности и квантовой теорией, но физика Ньютона поразительным образом сохраняет свою значимость и сегодня. А его идея описывать природу при помощи дифференциальных уравнений используется во всех областях науки, от астрономии до зоологии.

В первой книге «Начал» разбирается движение в отсутствие всякой сопротивляющейся среды – ни трения, ни сопротивления воздуха, ни гидродинамического сопротивления. Это простейший тип движения, описываемый самой красивой математикой. Начинается книга с объяснения метода предельных отношений, на котором зиждется все остальное. Как уже объяснялось, этот метод – не что иное, как математический анализ под маской геометрии. В самом начале устанавливается, что обратно-квадратичная зависимость силы притяжения эквивалентна Кеплеровым законам планетарного движения. На первый взгляд логическая эквивалентность Ньютонова закона трем законам Кеплера указывает на то, что Ньютон всего лишь переформулировал законы Кеплера и изложил их на языке сил. Но есть еще одна особенность – скорее предсказание, чем теорема. Ньютон, подобно Гуку до него, утверждает, что эти силы универсальны . Любое тело во Вселенной притягивает к себе любое другое тело. Это позволяет Ньютону сформулировать принципы, применимые ко всей Солнечной системе, и он подходит к задаче исследования системы из трех тел, движущихся под действием гравитационного притяжения.

Во второй книге разбирается движение в сопротивляющейся среде, включая и воздух. Рассматриваются гидростатика – равновесие плавающих тел – и сжимаемые жидкости. Исследование волн позволяет получить оценку скорости звука в воздухе – 1088 футов в секунду (331 м/с) – и закономерности ее изменения в зависимости от влажности. Современное значение этой скорости на уровне моря принимается равным 340 м/с. Завершается вторая книга критикой Декартовой теории образования Солнечной системы из вихрей.

Третья книга имеет подзаголовок «О системе мира»: в ней принципы, разработанные в первых двух книгах, применяются к Солнечной системе и астрономии. Приложения этих принципов поразительно подробны: неравномерности в движении Луны; движение спутников Юпитера, которых тогда было известно четыре; кометы; приливы; прецессия равноденствий; и особенно гелиоцентрическая теория, которую Ньютон сформулировал очень продуманно: «…общий центр тяжести Земли, Солнца и планет должен быть принят за центр мира… [и этот центр] или находится в покое, или же движется равномерно и прямолинейно» [14] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – М.: Наука, 1989. . Оценивая отношение масс Солнца, Юпитера и Сатурна, он вычислил, что этот общий центр тяжести располагается очень близко к центру Солнца, при этом ошибка не превышает диаметр Солнца. Он был прав.

Обратно-квадратичный закон притяжения на самом деле первым заметил Ньютон. Кеплер ссылался на математическую зависимость такого типа в 1604 г., говоря о свете; он утверждал, что пучок световых лучей, расходящихся из одной точки, должен освещать сферу, площадь которой растет как квадрат ее радиуса. Если количество света сохраняется, яркость должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния. Он предложил аналогичный закон и для «тяготения», но под тяготением при этом он подразумевал гипотетическую силу, при помощи которой Солнце толкает планеты по орбитам; он был убежден, что сила эта обратно пропорциональна расстоянию. Измаил Буллиальд был с этим не согласен; он утверждал, что эта сила должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Гравитационное притяжение, его универсальность и закон обратно-квадратичной зависимости в 1670 г., можно сказать, носились в воздухе. Кроме того, обратно-квадратичная зависимость – очень естественное соотношение, по аналогии с геометрией световых лучей. В лекции перед Королевским обществом в 1666 г. Роберт Гук сказал:

Я намерен изложить систему мира, весьма отличающуюся от всех до сих пор предложенных. Она основывается на следующих трех положениях. 1. Все небесные тела испытывают не только тяготение частей их к собственному истинному центру, но притягивают взаимно одно к другому в пределах своих сфер действия. 2. Все тела, совершающие простое движение, продолжат двигаться по прямой линии, если только не будут постоянно отклоняться от нее действием некоей внешней силы, побуждающей их описывать окружность, эллипс или какую-то иную кривую. 3. Это притяжение тем сильнее, чем ближе друг к другу находятся тела. Что же касается отношения, в котором эти силы уменьшаются с увеличением расстояния, то сам я, признаюсь, не определил его.