Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

"Творчество знаменитого голландского "математического графика" Маурица Корнелиса Эсхера пользуется во всем мире широкой известностью у любителей искусства и,, вероятно, еще в большей степени у любителей науки; за последние десятилетия этот интерес захватил и нашу страну. (Автор настоящих строк также откликнулся в свое время на интерес к Эсхеру, коснувшись его творчества в статье "Симметрия и искусство орнамента", помещенной в сборнике "Ритм, пространство и время в литературе и искусстве", Л., Наука, 1974; однако в этой довольно специальной и общей статье Эсхеру возможно было уделить лишь минимум внимания.) Связь творчества Эсхера с наукой — с математикой, физикой, кристаллографией — является совершенно бесспорной; ее охотно подчеркивал и сам художник, выпустивший, например, специально рассчитанный на кристаллографов альбом своих рисунков, призванный проиллюстрировать все плоские кристаллографические группы: в качестве наименования отдельных иллюстраций из этого альбома он указал принятые в кристаллографии обозначения групп симметрии этих рисунков. Характерна также тесная связь М. К. Эсхера с одним из крупнейших современных геометров, канадцем Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером. Книги Коксетера, в том числе и переведенные на русский язык, иллюстрировались гравюрами Эсхера, а Коксетер написал статью, сопровождающую один из последних (и из самых лучших) альбомов Эсхера. С другой стороны, некоторые из эффектных "неевклидовых" гравюр Эсхера развивают, как неоднократно указывал сам художник, темы, заимствованные из "чисто геометрических" иллюстраций к научным сочинениям Коксетера.

...Последняя глава книги посвящена прямой реализации "неевклидовых" идей у Эсхера, к слову сказать возникших в его художественном творчестве в разных вариантах еще до его прямого знакомства с гиперболической геометрией Лобачевского. Дело в том, что в соответствии с известными идеями Ф. Клейна различные "геометрии" различаются характеризующими их группами симметрии, так что различие, скажем, между классической геометрией Евклида и гиперболической геометрией Лобачевского связано не с разными свойствами параллельных — второстепенные и мало существенные свойства! — а исключительно с разным строением групп симметрии пространства или плоскости. Возможно, что до знакомства с сочинениями Коксетера Эсхер и не был знаком с этими подходами к геометрии, но с его обостренным вниманием к симметрии он, разумеется, не мог пройти в своем творчестве мимо попыток модификации "евклидовой симметрии", что и приводило его к разным типам "неевклидовых" пространств. При этом если в "модели Клейна" и в "модели Пуанкаре" неевклидовой геометрии Лобачевского роль "абсолюта", то есть множества "бесконечно удаленных точек", играет окружность или, реже, прямая, то в конструкциях Эсхера "точки схода" ("бесконечно удаленные точки") могли заполнять границу квадрата или вовсе быть изолированными; последние варианты эсхеровских построений отвечали системам симметрии, характеризующим, скажем, логарифмическую спираль Я. Бернулли или так называемую спираль Корню, играющую столь значительную роль в волновой оптике. Наконец, последняя часть последней главы книги Бруно Эрнста посвящена "змеиной теме" у Эсхера [22] Имеется в виду последняя из созданных художником гравюр, названная им "Змеи", и эскизы к ней. — К. П. , в которой несколько неожиданным образом сливаются сразу две глубокие математические идеи: учение об узлах, занимающее столь заметное место в топологии, и та же тема о реализации "бесконечно удаленных точек" плоскости.

Доктор физико-математических наук, профессор И. М. Яглом".

В книге приводится иллюстрация из работы Г. С. М. Коксетера, в которой Эсхер сразу же увидел новые возможности для своего художнического способа "игры" с бесконечностью. Так в 1958 году появилась гравюра "Предел на круге. I". Сам художник был недоволен ею. "В этой работе, поскольку она явилась первой попыткой, видны все недостатки. Не только форма рыб, развившаяся из некой прямолинейной абстракции в какое-то вымершее существо, но также и их расположение друг напротив друга оставляют желать лучшего. Можно проследить три различных ряда рыб, уменьшающихся в размерах по направлению осей, вдоль которых расположены их тела, но ряды эти состоят из белых рыб, соприкасающихся головами, и черных, смыкающихся хвостами. Таким образом нет непрерывности, нет "транспортного потока", нет единства цвета в каждом из рядов".

За этой гравюрой последовала другая, менее известная, "Предел на круге. II". По поводу ее Эсхер в разговоре с де Рийком говорил в своей обычной манере, когда шутку невозможно отличить от вполне серьезных слов: "На самом деле этот вариант надо бы написать на внутренней поверхности полусферы. Я предложил его папе Павлу, чтобы он распорядился украсить таким образом внутреннюю часть купола собора святого Петра. Представьте себе бесконечное число крестов, висящих у вас над головой! Но папе идея не понравилась".

Автор "Волшебного зеркала М. К. Эсхера" раскрывает "технологию" создания многих удивительных гравюр художника, воспроизводя в своей книге многочисленные эскизы, чертежи, а порой и специально сделанные макеты и фотографии. Вот как, например, рассказывает он о замысле гравюры "Три сферы. I" и его исполнении:

"Верхняя часть гравюры состоит из большого числа эллипсов, или, если хотите, большого числа маленьких прямоугольничков, расположенных по эллиптическим кривым. Но практически невозможно избавиться от ощущения, что мы видим перед собой сферу. Эсхер, однако, стремится внушить нам, что никаких сфер на его гравюре вовсе нет, что она абсолютно плоская. Поэтому он сгибает верхнюю часть гравюры и перерисовывает получившуюся фигуру под так называемой сферой. И все-таки мы вновь не в силах отказаться от трехмерной интерпретации изображенного: теперь мы видим полусферу с "крышкой" наверху! Хорошо же, говорит Эсхер, теперь я рисую верхнюю фигуру еще раз уже совершенно плоской, лежащей внизу гравюры. И что же? Даже тут мы отказываемся признать, что она плоская, и видим овальный надутый шар, а отнюдь не плоскую поверхность с нарисованными на ней кривыми линиями. Фотография иллюстрирует то, что сделано Эсхером".

Эта фотография, помещенная на обложку книги, иллюстрирует собой и тезис, неоднократно выдвигавшийся самим художником: "Рисовать — значит обманывать". Смысл, который он вкладывал в эти слова, состоит в том, что всякое изображение заставляет человека принимать воображаемое за реальность.