Карл Левитин - Геометрическая рапсодия

Таким образом, первоначальной платоновской идеей была математическая идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него останется пустым звуком и понятие идеи вообще.

Обычные нематематические понятия — это как бы тени, отголоски реальных предметов, воспринимаемые нашими органами чувств. Идея сосны в нашем сознании гораздо бледнее, расплывчатее, призрачнее, чем живой образ сосны, которую мы непосредственно созерцаем. Поэтому если ограничиваться только такими идеями, то каждому ясно, что они "привязаны" к вещам, зависят от них и, не будь вещей, не было бы соответствующих идей.

Но возьмем понятие треугольника. Математический треугольник в некотором смысле обладает более четкими свойствами, чем любой конкретный треугольник, сделанный из дерева, металла и т. д. Скажем, сумма углов математического треугольника всегда точно равна 180 градусам, чего нельзя сказать про вещественный треугольник, даже про тот, который мы с помощью карандаша и линейки сверхаккуратно нарисуем на бумаге. И в первую очередь потому, что мы не в состоянии с идеальной точностью измерить углы такого треугольника — этого нам не позволит ни сам объект измерения, ни приборы и способы измерений, имеющиеся в нашем распоряжении, отсюда и можно сделать умозрительный вывод об изначальной незаданности геометрических величин и фигур, то есть прийти к выводу о "примате" математического треугольника над материальными, которые лишь стремятся достигнуть свойств первого, но из-за сопротивления материи не могут сделать этого.

Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой цельности и последовательности, а поэтому, признав "самостоятельность жизни" математических идей, он распространил это признание на все идеи вообще.

Идеалистическую традицию в философии В. И. Ленин называл "линией Платона". Как видно из цитированных слов Ю. А. Жданова, ее существованию в наше время способствуют в какой-то мере и те из математиков, кто проявляет определенную растерянность в понимании и сущности математических объектов. Им можно было бы напомнить хорошо известное высказывание Ф. Энгельса: "Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие . счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития... Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действенного мира, стало быть весьма реальный материал...".

Конечно, математика времен Платона и современная математика отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они — ступени, одна ниже, другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. И в этом видится мне смысл слов, которыми Дуглас Хофстадтер заканчивает свою книгу: "...Вот почему в моей книге идеи, касающиеся работ Геделя, Эсхера и Баха, выстроены в единую линию и соединены в нескончаемую золотую цепы".

...И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая мудрая наука Геометрия...

Мечтатели, сибиллы и пророки,

Дорогами, запретными для мысли,

Проникли — вне сознания — далеко,

Туда, где светят царственные числа.

Более того, даже весьма далекую от проблем науки книгу рассказов, изданную в 1982 году, Сергей Сартаков, секретарь правления Союза писателей СССР, назвал "Лист Мёбиуса". Причем идея односторонней поверхности играет в ней довольно заметную роль и изложена вполне точно.

Здесь, а также далее, в скобках стоят номера рисунков, гравюр, фотографий и чертежей, которые, если взглянуть на них, порой могут доставить несколько секунд удовольствия, не говоря уже о том, что они имеют прямое отношение к тексту.

До Эйлера эту формулу знали Декарт и Лейбниц.

"В запасе осталось еще пятое многогранное построение, — пишет Платон в "Тимее", — его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал и украшал ее".

Гравюра "Восемь голов". См. "Указатель гравюр Маурица Корнелиса Эсхера, иллюстрирующих книгу".

Мотив со всадниками — гравюру, так и названную "Всадники", вы найдете в этой книге, пользуясь все тем же "Указателем", помещенным в конце ее.

"Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней, а центры граней куба соответствуют вершинам октаэдра", — писал Кеплер. Это видно и на гравюре Эсхера "Кристалл".

На этой же гравюре внимательный глаз различит и все правильные многогранники. В частности, нижний хамелеон держится nej редкими лапами за октаэдр и тетраэдр, а хвостом обвил другой октаэдр. Верхняя же тварь, наоборот, обвила хвостом ребро тетраэдра, а лапами вцепилась в два октаэдра.

Полное название этой книги, вышедшей в 1619 году, — "О гармонии мирл пять книг". Разными авторами оно переводится как "Гармония мира" и как "О гармонии мира".

На каждой из двенадцати пятиугольных граней "обычного" Додекаэдра возводится по пирамиде, следовательно, всего граней становится 5*12 = 60. Каждая пирамида добавит додекаэдру по пять ребер — всего их станет 30+(5*12) = 90. И, наконец, любая пирамида увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать, итого 32. Все это хорошо видно на гравюре "Силы гравитации".

Множество звездчатых тел получил советский исследователь В. Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов" созданных В. А. Сомовым и А. М. Бреславцем.