Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

В зонтичном дереве с Δ=2 и D=2 отношение квадрата высоты дерева к кубу диаметра его ствола постоянно, равно как постоянно и более общее отношение (высота дерева) D /(диаметр ствола) Δ .

Отступление о костях задних ног.Отношение между высотой и диаметром, характеризующее настоящие деревья с D=3 и Δ=2 , справедливо также и для скелетов животных, только буквой d здесь обозначается диаметр главной опорной кости.

Легочные и сосудистые деревья поддерживаются снаружи; большинство растений поддерживают себя сами. Гринхилл (цитирую по [568], издание 1961 г.) вводит на этом этапе понятие упругости (в противоположность геометрическому подобию). Идея статического упругого подобия заключается в том, что общая высота дерева не должна превышать некоторого фиксированного процента от критической высоты прогиба под действием собственного веса однородного цилиндра с таким же диаметром основания. Это условие дает в точности те же результаты, что и фракталы с D=3 и Δ=2 . То есть «трубчатое» дерево с заполняющими пространство листьями прогибаться не будет.

Макмагон и Кронауэр [423] развили идею Гринхилла, введя понятие динамического упругого подобия, и получили все тот же результат.

Ствол некоторых растений служит не только в качестве опоры для веса и трубы для перекачки соков, но и в качестве хранилища для питательных веществ. В таких случаях – и даже когда сосудистая система растения соответствует «трубчатой модели» - показатель Δ не обязательно должен быть равен 2.

На рис. 235 изображено дерево, концы веток которого образуют нестандартный «зонтик» с размерностью D<3 и Δ=D (на рисунке, разумеется, представлен плоский вариант, соответствующие показатели раны D−1 и Δ−1 ). Хорошо видно, что геометрическая цветная капуста имеет характерные пустые включения – совсем как настоящая цветная капуста, выросшая на грядке. Простое совпадение? Природе нет нужды загромождать генетический код характеристиками, предопределяемыми геометрией.

Рис. 235. Плоские фрактальные модели цветов

Возьмем любое из зонтичных деревьев на рис. 223 с θ<���π и заменим каждый прямолинейный отрезок равнобедренным треугольником, в котором указанный отрезок займет место одной из сторон, при этом углы у концов отрезков будут равны θ/2 (корневой конец) и π−θ . Поскольку угол θ имеет наименьшее, позволяющее избежать самопересечений дерева, значение, наши утолщенные треугольные стебли также не пересекаются, но заполняют внутреннюю область «зонтика». Чтобы сделать рисунки более наглядными, треугольники на одном из них были слегка подрезаны с одной стороны.

Заметим, что ветви быстро истончаются по мере того, как значение размерности D приближается к 1 или к 2 (в пространственной кривой, соответственно, к 2 или к 3). Соответствуют ли наблюдаемые в действительности значения D наибольшей возможной толщине ветвей?

Рис. 236 и 237. Заполняющие пространство рекурсивные бронхи

«Поддеревья», построенные из двух первых ветвей, подобны целому дереву, но каждое со своим коэффициентом подобия (обозначим их через r 1 и r 2 ). Все дерево самоподобным не является, так как наряду с поддеревьями оно включает в себя и ствол. С другой стороны, множество асимптотических концов ветвей самоподобно. Согласно пояснению к рис. 87 и 88, размерностью подобия называется размерность D , удовлетворяющая равенству r 1 D+r 2 D=1 . В верхней фигуре на рис. 237 концы ветвей почти заполняют плоскость, и значение разности 2−D мало; в нижней фигуре D значительно меньше 2.

Кстати, при постоянном отношении диаметра к длине коразмерность 3−D соответствующей пространственной структуры оказывается меньше, чем коразмерность 2−D ее плоского варианта.

Рис. 236.Эта сложная фигура представляет собой результат кохова построения дерева, в котором на каждом этапе генератор изменяется так, чтобы отношение толщины к длине постепенно уменьшалось до 0. В левой части рисунка это отношение уменьшается быстрее, чем в правой. Как следствие, множество концов ветвей перестает быть самоподобным, однако все же достигает размерности D=2 . Вот вам еще один способ достижения цели, поставленной в главе 15.

Рис. 237.При рекурсии Коха все прямолинейные интервалы любого конечного приближения порождают в следующем приближении ломаные, состоящие из более коротких отрезков. Во многих случаях бывает полезно обобщить эту процедуру, позволив определенным интервалам оставаться «бесплодными», т. е. неизменными на последующих этапах построения.

В данном случае такая обобщенная процедура использована для выращивания «дерева». Начинаем со ствола с бесплодными стенками и плодоносной «почкой» на конце. Почка порождает две «ветви», в которых плодоносными являются опять только «почки» на концах. И так далее до бесконечности. Для того чтобы дерево заполнило без пустот и самопересечений приблизительно прямоугольную область плоскости, рост его намеренно асимметричен. Однако асимптотических самокасаний мы избегать не стремились; и в самом деле, всякая точка, принадлежащая линии «коры», может быть получена как предел окончания какой-либо ветви.

Обсуждая в главе 12 поверхность мозга, мы не принимали во внимание сеть аксонов, соединяющих различные его части. В случае мозжечка аксоны соединяют его поверхность с внешним веществом, и мы получаем в результате поверхность серого вещества, которая обволакивает дерево, состоящее из белого вещества. Я пересмотрел рассуждения главы 12 с учетом этого дерева и нашел, что полученные при этом поправочные члены для соотношения между площадью и объемом позволяют достичь лучшего согласия с экспериментальными данными. Однако это слишком длинная история, и вряд ли стоит пересказывать ее здесь.

Ветвление нейронов.Клетки Пуркинье в мозжечке млекопитающего имеют почти плоскую форму, а их дендриты образуют заполняющий плоскость лабиринт. По мере перехода от млекопитающего к голубям, крокодилам, лягушкам и рыбам плотность заполнения уменьшается [314]. Было бы замечательно, если бы это уменьшение соответствовало уменьшению размерности D ; однако это не так, и предположение о фрактальной природе нейронов пока остается лишь предположением.