Маркос Санчес - Тайна за тремя стенами. Пифагор. Теорема Пифагора

Платон воспринял идеи Филолая и использовал их, чтобы сформулировать собственную космологическую теорию. Три космических принципа кротонца он превратил в четыре: предельное, беспредельное, результат их смешения (мировая материя) и их причина (Демиург). Платонова концепция космоса проникнута пифагорейской идеей гармонии: Вселенная — это прекраснейшее произведение, лучшее произведение искусства из всех возможных, зубчатая передача, состоящая из точнейшим образом подогнанных друг к другу совершенных частей. Некоторые фрагменты платоновских «Диалогов», по-видимому, отсылают к пифагорейскому учению в трактовке Филолая, например, геометрия как способ познания устройства Вселенной. Геометрия для Филолая была основой большинства наук, неоценимым инструментом систематизации и познания чисел. Традиционное пифагорейство настолько «платонично», а Платон настолько «пифагоричен», что Аристотель задавался вопросом, кто, собственно, на кого повлиял.

Архит Тарентский (ок. 428-347 до н.э.) был учеником Филолая. В историю он вошел как астроном и математик, но более всего — как философ, попытавшийся на практике реализовать идеал политика-ученого. Архит сформулировал идею пифагорейского правительства и попытался осуществить ее, так как он был не только философом и ученым, но и избирался в стратеги (военачальники) Тарента семь раз (с 367 по 361 год до н.э.). Источники ставят ему в заслугу то, что в годы его правления город достиг своего расцвета, а демократия — триумфа. Политический рост Тарента — установленный исторический факт, а его система управления, основанная на общественной гармонии, стала прекрасным примером того, какого результата можно достичь, применяя расчет, математику и геометрию в области политики. Ученый из Тарента считал, что математический расчет применим ко всем областям жизни, продолжая тем самым идеи Филолая. Согласно последнему, с помощью счета и геометрии можно разрешить любую проблему. Архит обращался к искусству счета, то есть изучению свойств чисел, как к основе анализа пропорций, на которой можно было построить отношения между логической мыслью, образованием и правосудием. Согласно этой идее, изучение числовых пропорций обеспечивало наилучшее распределение богатства и власти в обществе. Геометрия была тем дидактическим инструментом, который мог руководить душой во всех жизненных проявлениях. Это видение геометрии как инструмента упорядочивания, применимого в астрономии, музыке, торговле или политике, было востребовано в том историческом контексте, где требовалось согласие после длительных периодов раздоров. Архит возродил пифагорейскую политику, но на сей раз она базировалась не на харизме лидера, а на приложении идеи гармонии к взаимодействию социальных классов. Мыслитель послужил связующим звеном между пифагорейцами и Платоном, и дружба этих двух философов хорошо задокументирована их личной перепиской.

Традиция обычно представляет Архита главным действующим лицом последнего периода расцвета пифагорейской школы, в то время как современные историки считают, что он возродил сошедший было со сцены пифагореизм, лишив его мистического аспекта и рационализировав его таким образом, чтобы представить это течение «наукой наук», основанной на математике и музыке. Он автор некоторых серьезных достижений в области математики, которыми позднее восхищался Евклид, — например, ему принадлежит демонстрация иррациональных соотношений и доказательство иррациональности квадратного корня с помощью процедуры, впоследствии названной евклидовой, хотя впервые использовал ее именно Архит.

В области музыки он пытался обосновать гармонию математическими соображениями и изучал пропорции мелодических созвучий — октавы, квинты и кварты. Кроме того, Архит сформулировал акустическую теорию звука, причину которого видел в движении тел в воздухе и разнообразной скорости такого движения, что находилось в русле идеи о гармонии сфер. В геометрии он использовал чисто математический подход. Мыслителю приписывают открытие трехмерного решения задачи об удвоении куба, которое впоследствии предложил Гиппократ Хиосский (ок. 470-410 до н.э.), и это было следствием развития трехмерной геометрии (стереометрии). Архит первым нашел геометрическое решение этой проблемы, неразрешимой в рамках построений исключительно с помощью линейки и циркуля, как и квадратура круга или трисекция угла. Его решение было в геометрическом смысле безупречно, хотя и весьма сложно, и тем не менее оно было неприемлемо с точки зрения строгих критериев греческой геометрии — использования только линейки и циркуля.

Наконец, считается, что Архит собрал все сведения традиции о решении теоремы Пифагора, хотя точных доказательств этому нет. Неоплатоник Прокл (412-485) в своих комментариях к «Началам» Евклида первым приписал авторство теоремы самосскому ученому. Возможно, Пифагор был всего лишь мнимым автором этого открытия, а сама теорема была выдвинута и доказана анонимным гением архаической эпохи.

Удвоение куба получило также название Делосской задачи. Легенда рассказывает о ее решении Архитом, а также о его взглядах на математику как способ обеспечить политическое сотрудничество. Когда на острове Делос, месте рождения бога Аполлона, разразилась эпидемия чумы, жители острова обратились к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как им избавиться от напасти. Ответ был таков: им надо сделать новый алтарь Аполлону в форме куба, который был бы в два раза больше прежнего. Граждане Делоса попытались просто удвоить размеры прежнего алтаря, однако новый куб имел объем в восемь раз больше. Тогда они обратились за советом к Платону, который ответил им: Аполлон таким образом просто решил обратить их внимание на то, что следует неустанно заниматься геометрией. Когда эта задача стала известна Архиту, он смог разрешить ее с помощью геометрии, использовав так называемую кривую Архита. Тарентский ученый предложил использовать кривую, которая образуется движением точки, и поверхность, которая образуется движением кривой. С помощью этих инструментов он решил задачу, найдя пропорцию между двумя заданными величинами. В современной записи, приняв для простоты длину ребра первоначального куба за 1 и введя такие переменные х и у, что

1/x = x/y = y/2.

получаем: х 2- 3√2. Искомый ответ невозможно воплотить с помощью линейки и циркуля. Эти величины можно построить геометрически, найдя пересечение между тремя поверхностями: тор, конус и цилиндр.

Виртуальная реконструкция пересечения тора (светло-серый), конуса (промежуточный тон) и цилиндра (самый темный).