Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Что касается границ четырехугольника, мы видим 8 точек на границе левого треугольника и еще 12 – на границе правого, то есть в общей сложности 20 точек. Но тут мы немного перебрали. Три точки на диагонали четырехугольника включать не надо; кроме того, мы посчитали их дважды. Таким образом, нужно вычесть 6. Две точки на концах диагонали тоже посчитаны дважды, потому вычтем еще 2, чтобы компенсировать перебор. Это дает B Q = 20–6–2 = 12.

Последний рывок:

Невероятно! Это правильный ответ! Как такое возможно?

Площади двух треугольников, Lи R, дают в сумме:

Это не что иное, как площадь четырехугольника. Перегруппируем слагаемые:

Величина I L + I R не включает некоторые точки внутри четырехугольника, а величина B L + B R оказывается слишком большой из-за точек на границах. Точки на диагонали четырехугольника мы неосмотрительно посчитали дважды, хотя на самом деле они принадлежат величине I Q (и деление пополам исправляет эту оплошность). Конечные точки диагонали тоже оказались посчитаны дважды, когда мы вычисляли точки на границах. Деление на 2 исправляет эту оплошность лишь наполовину, но вычитание 2 (а не 1) ставит все на свои места!

Вы не поверите, но теорема Пика работает для любого многоугольника с целочисленными вершинами.

Если треугольник тупоугольный (то есть один из его углов больше 90°), центр описанной окружности и ортоцентр лежат вне треугольника. На рисунке приведен пример окружности, описанной около тупоугольного треугольника.

Найти ортоцентр тупоугольного треугольника несколько сложнее. Фокус состоит в том, чтобы продолжить его стороны, пока они не пересекутся с соответствующими высотами.

В треугольнике ABC мы делаем следующие дополнительные построения: (1) проводим через точку A прямую, перпендикулярную BC (эту сторону необходимо продолжить); (2) проводим через точку B прямую, перпендикулярную AC ; (3) проводим через точку С прямую, перпендикулярную AB (ее также необходимо продолжить). Точка пересечения этих прямых X и есть ортоцентр.

Страшила из книги «Волшебник страны Оз» так и не обрел мозги, но получил диплом. Он с гордостью продемонстрировал свой усовершенствованный интеллект, сформулировав абсолютно исковерканную теорему Пифагора: «Сумма квадратных корней из двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню из третьей стороны».

На самом деле теорема Пифагора ничего не говорит о равнобедренных треугольниках [147] Равнобедренным называют такой треугольник, где две стороны равны между собой. . Она увязывает длины сторон прямоугольного треугольника (один из углов в этом треугольнике прямой, то есть равен 90°).

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника (то есть сторон, образующих прямой угол) буквами a и b , а длину гипотенузы (стороны напротив прямого угла) – буквой c .

Теорема Пифагора гласит:

a ² + b ² = c ².

Вот словесная формулировка (несомненно, именно это и намеревался сказать Страшила):

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов [148] Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата со стороной 1 равна √2. Дело в том, что диагональ квадрата рассекает его на два прямоугольных треугольника; длина их катетов равна 1, в то время как длина гипотенузы равна некоторой величине c . По теореме Пифагора c ² = 1² + 1² = 2. Извлечение квадратного корня дает Об этом числе шла речь в главе 4. .

Наше доказательство будет базироваться на рассечении большой фигуры на малые: мы сгруппируем несколько прямоугольных треугольников в одну фигуру, посчитаем сначала ее площадь, а потом сумму площадей образующих ее фрагментов и – вуаля! – докажем теорему Пифагора.

Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c так, чтобы они образовали квадрат со стороной a + b :

Очевидно, что площадь квадрата равна ( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ².

Теперь рассечем большой квадрат на пять составных частей: малый квадрат со стороной c и четыре треугольника; сложим треугольники попарно в два прямоугольника со сторонами a и b :

Общая площадь этих фигур – c ² + 2 ab .

Очевидно, что площадь большого квадрата равна площади составляющих его частей:

a ² + 2 ab + b ² = c ² + 2 ab .

Когда мы вычтем из обеих частей тождества 2 ab , теорема Пифагора будет доказана [149] Это доказательство было найдено Бхаскарой, индийским математиком X II века. .

Вот другое доказательство, тоже основанное на рассечении некой геометрической фигуры.

Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника так, чтобы они образовали квадрат c × c :

Общая площадь этой фигуры с ². Посчитайте самостоятельно сумму площадей треугольников и малого квадрата в центре. Ответ вы найдете в конце главы.

Еще одно доказательство на основе рассечения геометрической фигуры придумал Джеймс Гарфилд, 20-й президент Соединенных Штатов [150] Джеймс Гарфилд (1831–1881) был самоучкой, преподавал в школах и вузе, занимался адвокатурой. Воевал на стороне северян, был видным деятелем Республиканской партии. Погиб от руки террориста через три месяца после вступления в должность президента. – Прим. пер. .

Сгруппируем три прямоугольных треугольника, два одинаковых поменьше и один побольше, чтобы они образовали трапецию [151] Трапеция – это четырехугольник, в котором две стороны параллельны друг другу, а две другие – нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции. Площадь трапеции можно вычислить по формуле где b 1 и b 2 – длины оснований, а h – расстояние между ними. Обратите внимание, что трапеция в доказательстве Гарфилда – половина фигуры, разобранной в нашем первом доказательстве, образованная путем рассечения малого квадрата по диагонали. :