Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Этот раздел предназначен для тех, кто уже изучал теорию вероятностей и хочет освежить свои знания. Другие читатели могут листать до следующего раздела.

По особому случаю (лат.). – Прим. пер.

Томас Байес (1702–1761) – британский пресвитерианский священник, богослов и математик. – Прим. пер.

В фокусе нашего внимания только те функции, которые преобразуют числа в числа. В целом функции превращают любые математические объекты в любые математические объекты.

Отображение – просто синоним термина «функция».

Математики называют такие системы динамическими: нам дано начальное состояние и правило, по которому система меняется со временем.

Колеблется, пульсирует (от лат. oscillari – качаться). – Прим. пер.

Лотар Коллатц (1910–1990) – немецкий математик, специалист по теории аппроксимации. – Прим. пер.

Лотар Коллатц выдвинул эту гипотезу в 1937 году.

Более сложная система выборов подразумевает, что избиратели отмечают, насколько сильно они предпочитают одного кандидата другому.

Мы будем использовать термин «профиль предпочтений» для совокупности индивидуальных голосов.

Важно не смешивать метод принятия решения (например, правило большинства) со свойствами, которыми он обладает (например, нейтральность учета голосов ). Разные методы могут обладать каким-то одним свойством, но отличаться другими. Мы высвечиваем разницу, используя полужирное начертаниедля обозначения метода и курсив для обозначения свойства.

Отмечу, что правило диктатораудовлетворяет требованию нейтральности учета кандидатов .

Вот формальное определение монотонности . Мы называем метод принятия решений монотонным, если перемена решения одного избирателя в пользу победителя не меняет итога выборов.

Правило диктатора,конечно, однозначное: оно никогда не заводит в тупик.

Кеннет Мэй (1915–1977) – американский математик, экономист и историк математики. Защитил диссертацию по математической теории трудоустройства. Придерживался коммунистических взглядов. – Прим. пер.

В терминологии Мэя – нейтральность, анонимность, положительный отклик и однозначность. – Прим. пер.

В этом разделе мы рассматриваем выборы, на которых может быть несколько победителей. Нет ничего необычного в том, что из длинного списка выбирают двух и более победителей. Распространенный пример – выборы в школьный совет.

Я максимально упрощаю ситуацию Можно себе представить, что избиратель симпатизирует A, равнодушен к B и C и полностью отвергает кандидатуру D. Так или иначе, мы рассчитываем, что избиратель все-таки ранжирует их. Математики рассматривают более сложные ситуации, но мы с вами ограничимся самой простой моделью.

Если в выборах участвуют k кандидатов, существует k ! возможностей распределения приоритетов (см. главу 10).

Этот метод назван в честь Жана-Шарля де Борда, французского математика XVIII века. Подсчет по методу Борда в случае четырех кандидатов делается так: первый приоритет избирателя приносит кандидату 3 очка, второй – 2, третий – 1, четвертый – 0 очков. Количество очков в случае пяти кандидатов будет 4, 3, 2, 1 и 0 соответственно. Обратите внимание, что в случае двух кандидатов метод Борда ничем не отличается от правила большинства.

Кеннет Джозеф Эрроу (1921–2017) – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике за 1972 год «за новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния». – Прим. пер.

Точнее, ни один метод не удовлетворяет одновременно четырем критериям: нейтральности учета избиртелей, нейтральности учета кандидатов, монотонности и независимости от посторонних альтернатив. – Прим. науч. ред.

Уильям Ньюком (? – 1999) – профессор теоретической физики Ливерморской национальной лаборатории Калифорнийского университета. Двоюродный праправнук астронома и математика Саймона Ньюкома, первооткрывателя закона Бенфорда (см. главу 14). – Прим. пер.

Эту головоломку придумал Уильям Ньюком. Впервые она была обнародована в научной статье Роберта Нозика. Широкая аудитория узнала о ней благодаря колонке Мартина Гарднера в журнале Scientific American.

Возможно, вы думаете, что 95 % – слишком высокий уровень предсказуемости. Ну и ладно, позже мы понизим оценку до 51 %, и вы увидите, что это нерезультативно. Поэтому, пожалуйста, примите 95 %.

Есть еще одно правило, которое я объясню чуть позже.

Если вам не нужны деньги, это чудесно, можете пожертвовать их на благотворительность! Но только не оставляйте их на столе.

Просто для справки: конечно же, вы обладаете свободой воли. Я не знаю, как вам могло прийти в голову, что это не так!

А теперь головоломка: найдите уровень точности предсказаний, при котором обе стратегии дают одинаковый средний выигрыш, и противоречие исчезает. Ответ – в конце главы.

На самом деле большинство компьютеров содержит генератор псевдослучайных чисел. Компьютерная программа генерирует случайные величины, но, разумеется, следует четкому алгоритму. В главе 21 рассказано, как детерминированные процессы могут приводить к непредсказуемым результатам.