Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

Разница в 1 цент объясняется тем, что в первом случае мы каждый раз округляли прибыль до сотых.

В первый месяц банк выплатит нам 0,8333 % процента от первоначальной суммы, то есть 8,33 %. Теперь у нас в общей сложности $1008,33.

На самом деле длительность года чуть больше 365 дней, но мы упростим расчеты.

Экспоненциальная убыль встречается в природе. Пример – радиоактивный распад атомов.

Восклицательный знак означает факториал. Подробнее о факториале вы можете прочесть в главе 10.

Примечание для тех, кто знаком с логарифмами: для того чтобы выяснить, насколько редко встречаются простые числа, когда мы рассматриваем большие величины, можно посчитать количество простых чисел между 1 и каким-нибудь крупным числом N . Важнейший результат в теории чисел показывает, что чем больше N , тем ближе количество простых чисел между 1 и N к величине где ln N – логарифм числа N по основанию e , или натуральный логарифм N . Этот результат зафиксирован в так называемой теореме о распределении простых чисел.

Числитель в этом выражении – пример телескопического ряда, где все слагаемые взаимно уничтожаются. Представьте себе складной телескоп, состоящий из нескольких частей. Точно так же слагаемые телескопического ряда вкладываются друг в друга.

Я здесь пропускаю множество этапов вывода формулы Эйлера. Я хочу просто объяснить, что значит возводить число в мнимую степень, и дать общую картину доказательства. В полном виде оно включает тригонометрические выкладки и такие сложные вычисления, которым не место в этой книге.

Георг Кантор (1845–1918) – немецкий математик, создатель теории множеств. Последние годы провел в психиатрической лечебнице. – Прим. пер.

Работы Кантора подвергались нещадной критике как со стороны математиков, так и со стороны философов и теологов. Но спустя некоторое время он добился признания как первооткрыватель новой области математики.

Обычно множество обозначают с помощью фигурных скобок.

Математики называют взаимно однозначное соответствие биекцией.

Нам не обязательно знать все элементы |A| или |B|, чтобы констатировать, что |A| = |B|.

Это множество натуральных чисел, его обычно обозначают ℕ. – Прим. науч. ред.

Вот две задачки. Какое число будет стоять справа на сотой строке перечня? Какое число слева будет соответствовать числам 100 и –100 справа? Ответ – в конце главы.

При первом чтении главы эти два абзаца можно пропустить. Мы уточняем одну техническую деталь, чтобы сделать аргументацию полной и неуязвимой.

Символ א обозначает первую букву древнееврейского алфавита: алеф. Символ читают «алеф нуль».

Вообще говоря, из сказанного это не следует; существование таких чисел надо специально доказывать. – Прим. науч. ред.

Этот подход, известный как наивная теория множеств, использовал Кантор и другие математики.

Может ли одно множество быть элементом другого? Разумеется! Скажем, множество {1, 2} входит во множество {0, {1, 2}, 3, 6, 7}. В этом множестве пять элементов: числа 0, 3, 6, 7 и множество {1, 2}.

Одно из многочисленных достижений Рассела – Нобелевская премия по литературе за 1950 год.

Этот парадокс называют антиномией Рассела.

Этот подход известен под названием «аксиоматическая теория множеств». Общепринятые правила поведения и формирования множеств названы в честь своих создателей, Эрнста Цермело (Ernst Zermelo) и Абрахама Френкеля (Abraham Fraenkel): ZF-аксиомы.

Если хоть одно такое множество существует, |ℝ|> алеф_1 . – Прим. науч. ред.

Эта глава повествует о знаменитых числах Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. Этот ряд был назван в честь Леонардо Пизанского, больше известного как Фибоначчи. (Леонардо Пизанский (1170–1250) – один из первых крупных математиков средневековой Европы. Прозвище Фибоначчи означает «сын Боначчи». Автор «Книги абака», излагающей десятичную систему счисления. – Прим. пер. )

В задаче о квадратах и домино мы выяснили: F 1= 1, а F 2= 2. Но числа Фибоначчи начинаются с F 0= 1. Как это согласуется с условиями задачи? Сколько существует способов заполнить на тех же условиях рамку 0 × 1? Длина квадрата и длина костяшки домино, как ни крути, больше нуля, потому есть искушение сказать, что ответ равен нулю, но это не так. Прямоугольник 0 × 1 уже заполнен, там нет щелей; нам не понадобится ни квадрат, ни костяшка домино. Таким образом, есть всего один способ действия: не брать ни квадрата, ни костяшки домино. Понимаете? В таком случае я вас поздравляю. У вас душа математика!

Слово «комбинаторный» образовано от существительного «комбинаторика» – названия раздела математики, предметом которого является подсчет вариантов в задачах, схожих с облицовкой прямоугольника. Слово «комбинаторика», в свою очередь, образовано от слова «комбинации».

Популярная в США телевикторина. Аналоги Jeopardy! выходят в разных странах; в России это – «Своя игра». – Прим. ред.

Число k может принимать значения от 1 до n + 1, но не больше, потому что иначе последняя костяшка домино высунется за пределы рамки.

Жак Бинe (1786–1856) – французский математик, механик и астроном. Формула для чисел Фибоначчи названа в честь Бине, хотя почти на сто лет раньше ее вывел Абрахам де Муавр (1667–1754). – Прим. пер.

Для читателей, не понаслышке знакомых с интегралами, приведу еще одну эстетически безупречную формулу: Она не слишком хороша для вычислений, но дьявольским образом позволяет находить факториал дробных чисел. Например, в соответствии с приведенной выше формулой

Такие числа называют треугольными, потому что они равны сумме объектов, расположенных в форме треугольника: