Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

В неявном виде (как тождество двух форм представления общей суммы углов всех граней) эта формула была доказана Декартом около 1630 г. Содержание утерянной статьи Декарта известно из копии, сделанной Лейбницем в 1676 г. и найденной среди его бумаг в 1860 г. Эйлер независимо открыл формулу в 1752 г. – Прим. науч. ред.

Рисунок расплющенного многогранника – хороший пример графа, или математической модели определенной сетевой структуры.

Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани представляют собой правильные многоугольники нескольких типов. – Прим. пер.

Вацлав Серпинский (1882–1969) – польский математик, профессор Варшавского университета. Известен работами по теории множеств, теории чисел, теории функций, а также топологии. – Прим. пер.

Если говорить строго, мы вырезаем треугольник внутри, но не его границы; в конце концов не останется ничего, кроме этих линий.

Также известен под названием «салфетка Серпинского» и «решетка Серпинского». – Прим. пер.

Обратите внимание, что площадь равностороннего треугольника со стороной 1 не равна 1. Для удобства вычислений мы рассматриваем другой треугольник.

Напоминаю: с точки зрения математики окружность – одномерная кривая, а круг – двумерная фигура: часть плоскости внутри окружности и сама окружность.

Обратите внимание, что мы записали g как g 1. Это ничего не меняет, но служит неким предзнаменованием.

Ранее мы брали за основу равносторонний треугольник. Но он не помещается в квадрат. Поэтому будем рассматривать равнобедренный треугольник с основанием и высотой, равными 1. Принцип построения остается прежним.

Увеличение числа клеточек в три раза вытекает из самоподобия треугольника Серпинского. Посмотрите на квадрат с 16 клеточками. Легко заметить, что треугольник Серпинского захватывает 12 клеточек. Теперь посмотрите на следующий квадрат, но не спешите подсчитывать клеточки. Просто обратите внимание, что новый треугольник состоит из трех уменьшенных копий предыдущего. Каждая из них захватывает всё те же 12 клеточек. Общее число клеточек 36. Когда вы переведете взгляд на следующий квадрат, вы снова обнаружите три копии предыдущего треугольника. Очевидно, что они захватывают 108 клеточек.

Символ ~ означает примерное равенство, точность которого возрастает с ростом величины переменных.

Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870–1924) – шведский математик, специалист по теории чисел. Статья о снежинке Коха вышла в 1904 году. Это один из первых изученных фракталов. – Прим. пер.

Все здание современной математики покоится на концепции множеств – неупорядоченного набора объектов (см. главу 8).

На самом деле «Начала» Евклида открывает именно раздел определений основных объектов. Например: «точка есть то, что не имеет частей»; «линия – длина без ширины»; «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину»; «плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях». См.: Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. – М. – Л.: ГТТИ, 1949–1951. – Прим. пер.

Евклид определял прямой угол следующим образом: это один из углов, возникающих в том случае, если две прямые пересекаются и все четыре получившихся угла равны.

Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения. Мы использовали эту аксиому, когда доказывали, что сумма углов треугольника равна 180°.

Большинство математиков полагало, что замена постулата о параллельных прямых приведет к противоречию. Николай Лобачевский, математик из России, живший в XIX веке, показал, что предположение (B) ведет не к противоречию, а к геометрии нового типа, названной в его честь геометрией Лобачевского.

Таким образом, параллельных прямых в этой системе не существует: всякая пара прямых имеет точку пересечения. Это разительное отличие от евклидовой геометрии.

Система из семи точек и семи прямых называется плоскостью Фано.

Эту модель гиперболической плоскости называют диском Пуанкаре в честь французского математика Анри Пуанкаре (1854–1912).

Если мы возьмем другой масштаб евклидовой плоскости, она не изменится. Гиперболическая плоскость, напротив, преображается при смене масштаба. Число K зависит от него.

Разбиение плоскости на многоугольники в математики называют паркетом, мозаикой или замощением. Здесь мы обсуждаем замощение плоскости правильными n -угольниками.

Замощение гиперболической плоскости вдохновляло многих художников, среди них наиболее известен Мауриц Эшер.

Отношение называется транзитивным, если оно выполняется для пары ( А, С ) при условии, что выполняется для пар ( А, В ) и ( В, С ). Нетранзитивными называют отношения, не удовлетворяющие этому свойству. Например: волк ест козу, коза ест капусту, но волк не ест капусту. – Прим. пер.

Инди-культура (от англ. independent – «независимый») противопоставляет себя коммерческому мейнстриму. – Прим. пер.

Техасский холдем – одна из самых популярных разновидностей покера с двумя «карманными» (закрытыми) и пятью «общими» (открытыми) картами. Выигрывает наилучший набор из пяти карт, в котором игрок может использовать любые из пяти общих карт и двух своих. – Прим. пер.

Стрит (англ. straight – «порядок»): пять карт по порядку любых мастей. – Прим. пер.

Флэш (англ. flush – «масть»): пять любых карт одной масти. – Прим. пер.

Набор k элементов в произвольном порядке из n элементов в комбинаторике называют сочетанием из n по k и рассчитывают по формуле

В нашем случае

Предположим, вы попали в категорию людей, где 25 % поражены болезнью. Какова вероятность того, что вы заражены, если результат тестирования положительный? Ответ – в конце главы.