Эдвард Шейнерман - Путеводитель для влюбленных в математику

211 591 = 457 × 463.

Древних римлян часто поминают дурным словом за их громоздкую систему записи чисел. Люди не любят римские числа, так как они обременяют вычисления. Никто не обрадуется перспективе перемножать XLVII и DCDXXIV. А вот задача умножить 47 на 924 не выглядит настолько угрожающей (хотя большинство из нас все равно побежит за калькулятором).

Впрочем, прежде чем сбрасывать римские числа со счетов как причудливый анахронизм, нам необходимо признать, что их основополагающий принцип – буквы вместо цифр – используется до сих пор. Этот ключевой аспект римских чисел обрел новое воплощение. Что легче прочесть?

• Реновация школ в нашем округе обойдется в 23000000 долларов.

• Реновация школ в нашем округе обойдется в 23 млн долларов.

Разумеется, я не стал разделять разряды в первом случае, чтобы число было сложнее прочесть (и я попал в точку, не правда ли?). Но, даже если проставить пробелы, фраза «Пентагон требует дополнительные 19 000 000 000 долларов» сложнее для восприятия, чем «Пентагон требует дополнительные 19 млрд долларов». Иногда удобнее использовать слова вместо чисел.

Мнимое преимущество позиционной системы счисления [29] Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение каждого символа в записи числа зависит от его позиции (разряда). – Прим. пер. – это то, что в ней проще производить вычисления. Но давайте задумаемся о том, сколько сил уходит на перемножение двух чисел. Во-первых, нам необходимо запоминать дополнительные математические данные. К тому же мы обязаны помнить таблицу умножения. Во-вторых, мы проделываем многоуровневую процедуру: сортируем числа по разрядам, умножаем по соответствующему правилу, получаем промежуточные данные, складываем.

Да, десятичные числа легче перемножать, чем их римские аналоги, однако это по-прежнему утомительно. Возникает вопрос, есть ли способ записывать числа, который бы облегчал вычисления. Мы выяснили, что да, есть, но для этого придется пожертвовать наглядностью.

Простейший способ записи чисел – единичная система счисления: мы просто записываем столько же символов (будем использовать цифру 1), сколько единиц в интересующем нас числе. Например, число 3 окажется трехзначным: 111. Сложение и умножение становятся исключительно простыми. Чтобы сложить 3 и 5, мы просто запишем два числа, 111 и 11111, друг за другом (без пробела) – и вот он, ответ: 11111111. Умножать тоже просто. Мы запишем одно число вертикально, а другое горизонтально и получим следующую таблицу:

Затем мы заполним таблицу, поставив единичку в каждом столбце и в каждой колонке:

Наконец, мы выпишем все единички в ряд и получим ответ: 111111111111111. Складывать и перемножать числа в единичной системе счисления существенно проще, чем десятичные или римские числа [30] Предлагаю вам самостоятельно найти алгоритмы для вычитания и деления. .

Разумеется, такая простота вычислений дается ценой титанических затрат внимания и времени. Никому не захочется прибегать к этому методу, чтобы перемножить 47 и 924.

Числа, записанные в двоичной системе счисления [31] Также говорят: система счисления с основанием 2. , не так привычны нам, как десятичные или римские, но с ними проще делать вычисления. Вот почему в компьютерах используется именно двоичная система. Чтобы разобраться, как она устроена, нам нужно припомнить особенности десятичной системы.

Для записи чисел в десятичной системе счисления используют десять символов, располагаемых в разных комбинациях в ряд по горизонтали. Значение символа зависит от его места в ряду. 29 и 92 означают разные числа, потому что 2 и 9 занимают разные позиции. 29 означает «два десятка и девять единиц». 5804 означает «пять тысяч, восемь сотен, ни одного десятка и четыре единицы». Позиция цифры в десятичном числе означает, на какую степень десяти [32] Напомним, что показатель степени означает, сколько раз мы перемножаем основание: например, 10³ = 10 × 10 × 10. Естественно, 10 1 = 10. По договоренности, 10 0 = 1. Это логично, так как каждая следующая степень десяти в десять раз больше предыдущей. мы ее умножаем. Разряды растут справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. Иными словами, запись 5804 означает:

5× 10³ + 8× 10² + 0× 10 1+ 4× 10 0.

Чем больше символов в десятичном числе, тем труднее его прочесть. Обычно каждый четвертый разряд отделяют пробелом или запятой [33] В англоязычных странах в качестве разделителя разрядов используется запятая, в России – неразрывный пробел, который ставится только в числах с пятью и более разрядами. – Прим. ред. .

Двоичная система устроена схожим образом, просто позиция в записи означает, на какую степень двух (а не десяти) мы должны умножить эту конкретную цифру.

В двоичной системе счисления используются всего два символа: 0 и 1. Разряды здесь тоже растут справа налево, обозначая количество единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. Например, в двоичной записи 10110 означает:

1× 2⁴ + 0× 2³ + 1× 2² + 1× 2 1+ 0× 2 0= 16 + 4 + 2 = 22.

Проверьте, насколько вы ориентируетесь в новой теме: чему равно число 42 в двоичной системе и чему равно число 11011 2в десятичной [34] Чтобы отличить запись в двоичной системе от записи в десятичной, мы будем ставить нижний индекс: 1101 2 или 1101 10 . ? Ответы – в конце главы.

Двоичные числа труднее для чтения, чем десятичные. Двоичная запись 1011001 кажется менее привычной, чем десятичная запись того же числа: 89. Преимущество двоичных чисел в том, что их использование облегчает вычисления. Вместо огромного количества математических данных нам необходимы всего две таблицы:

Заметьте, что в таблице умножения 10 означает число два.

Сложение двоичных чисел устроено так же, как в десятичной системе. Например, нам нужно найти сумму 10100 2и 1110 2. Расположим эти числа друг над другом: