Авинаш Диксит - Стратегические игры

I. Стоит ли один раз отказываться от сотрудничества в игре против соперника, выбирающего стратегию равноценных ответных действий?Один из вариантов выбора, имеющихся в распоряжении ресторана Xavier’s в повторяющейся игре против конкурента, использующего стратегию «око за око», — всего раз отказаться от кооперативного исхода, а затем вернуться к сотрудничеству. Это принесет ресторану прибыль 36 в первый месяц (при отказе от сотрудничества), но приведет к убыткам 108 во втором. На третий месяц сотрудничество возобновляется. Стоит ли отказываться от него всего на один месяц?

Мы не можем непосредственно сравнить прибыль 36 за первый месяц с убытком 108 за второй, поскольку в расчет необходимо включить дополнительную денежную стоимость времени. Иными словами, нам нужен способ, позволяющий определить, какую стоимость на протяжении первого месяца имеют 108 долларов убытка за второй месяц. Тогда мы сможем сопоставить полученное число с прибылью 36, чтобы решить, стоит ли отказываться от сотрудничества на один месяц. Величина, которую мы ищем, — это приведенная стоимость108, или сумма прибыли, заработанной в текущем месяце (в настоящем), эквивалентная (имеющая такую же стоимость) 108, заработанным в следующем месяце. То есть нам необходимо вычислить, какая сумма, заработанная в текущем месяце, вместе с процентами составила бы 108 в следующем месяце. Мы называем это число приведенной стоимостью 108 (present value, PV ).

Учитывая, что общая норма прибыли (за месяц) равна r , получение PV в этом месяце и инвестирование этой суммы до следующего месяца дает PV + rPV , где первый член — это основная сумма, возвращаемая инвестору, а второй — доход (в виде процентов, дивидендов или прироста капитала). Если общая сумма 108, тогда значение PV равно текущей стоимости 108. Равенство PV + rPV = 108 позволяет вычислить значение PV

Теперь при любом значении r мы можем определить точную сумму в долларах, которая, будучи заработанной в текущем месяце, будет иметь стоимость 108 в следующем месяце.

С точки зрения Xavier’s Tapas, вопрос о том, компенсирует ли прибыль 36 за текущий месяц убыток 108 в следующем месяце, остается открытым. Ответ зависит от значения PV . Ресторан Xavier’s должен сравнить прибыль 36 с приведенной стоимостью убытка 108. Отказаться от сотрудничества с конкурентом один раз (а затем возобновить его) целесообразно только если 36 > 108/(1 + r ). Это равносильно утверждению о том, что однократный отказ от сотрудничества приносит пользу лишь в случае, если 36(1 + r ) > 108, что позволяет сократить это выражение до r > 2. Стало быть, ресторан Xavier’s должен выбирать стратегию однократного отказа от сотрудничества в игре против конкурента, применяющего стратегию «око за око», только если общая норма прибыли за месяц больше 200 %. Такой исход весьма маловероятен; например, учетная ставка редко превышает 12 %. Это означает, что месячная процентная ставка составляет менее 1 % (и капитализируется один раз в год, а не ежемесячно), а это существенно меньше вычисленных нами 200 %. Таким образом, ресторану Xavier’s лучше продолжать сотрудничество с конкурентом, чем пытаться один раз отказаться от него из-за выбора рестораном Yvonne’s стратегии «око за око».

II. Стоит ли полностью отказываться от сотрудничества в игре против соперника, выбирающего стратегию равноценных ответных действий?А как насчет того, чтобы отказаться от сотрудничества раз и в дальнейшем продолжать делать это всегда? Этот вариант выбора сперва обеспечит ресторану Xavier’s прибыль 36, а затем ежемесячно начнет приносить убыток 36, если конкурент применит стратегию «око за око». Для того чтобы определить, отвечает ли такая стратегия интересам ресторана Xavier’s, снова необходимо вычислить приведенную стоимость понесенных убытков. Однако на этот раз они будут понесены за бесконечный интервалпредстоящих месяцев конкуренции.

Бессрочный отказ ресторана Xavier’s от сотрудничества в игре с конкурентом, использующим стратегию «око за око», обеспечивает последовательность выигрышей (прибыли), эквивалентную тому, что получил бы этот ресторан при отказе сотрудничать в игре против конкурента, применившего триггерную стратегию бесповоротного наказания . А она требует, чтобы игроки наказывали любой отказ от сотрудничества ответным отказом на протяжении всех будущих периодов. В таком случае ресторану Xavier’s не стоит даже пытаться возобновлять взаимодействие после первого отказа, поскольку с этого момента конкурент неизменно будет выбирать отказ от сотрудничества в качестве наказания. Любой отказ от сотрудничества со стороны ресторана Xavier’s в этом случае приведет к получению им прибыли 36 за первый месяц и последующей ежемесячной потере 36 — точно такой же исход, как и при бессрочном отказе от сотрудничества в игре против конкурента, использующего стратегию равноценных ответных действий. Следовательно, представленный ниже анализ также позволяет выяснить, целесообразно ли вообще применять стратегию отказа от сотрудничества в игре против соперника, использующего стратегию строгого наказания.

Для того чтобы это определить, необходимо вычислить приведенную стоимость всех убытков 36, понесенных в предстоящие месяцы, суммировать эти значения и сопоставить полученную сумму с прибылью 36 за первый месяц отказа от сотрудничества. Приведенная стоимость убытка 36, понесенного за первый месяц наказания и продолжающегося отказа ресторана Xavier’s сотрудничать, равна 36 / (1 + r ); расчеты идентичны используемым в разделе 2Б.Iдля вычисления того, что приведенная стоимость 108 равна 108/(1 + r ). В следующем месяце значение PV должно представлять собой такую сумму в долларах за текущий месяц, которая вместе со сложными процентамиза два месяца составила бы 36 через два месяца. Если PV инвестировать сейчас, то через месяц инвестор получит эту основную сумму плюс прибыль rPV , то есть в сумме PV + rPV , как и ранее. Если оставить эту общую сумму инвестированной на второй месяц, к концу двух месяцев инвестор получит инвестированную сумму в начале второго месяца ( PV + rPV ) плюс прибыль на эту сумму в размере r ( PV + rPV ). Значение PV убытка 36, понесенного через два месяца начиная с текущего момента, должно удовлетворять уравнению PV + rPV + r ( PV + rPV ) = 36. Из этой формулы мы можем вывести значение PV: PV (1 + r ) 2 = 36, или PV = 36/(1 + r ) 2. По всей вероятности, вы уже увидели закономерность. Значение PV убытка 36, понесенного за третий месяц бессрочного отказа от сотрудничества, составляет 36/(1 + r ) 3, а за четвертый — 36/(1 + r ) 4. В действительности значение PV убытка 36, понесенного за энный месяц бессрочного отказа от сотрудничества, составляет 36/(1 + r ) n . Ресторан Xavier’s несет бесконечную сумму убытков 36, причем приведенная стоимость каждого такого убытка с каждым месяцем уменьшается.