Авинаш Диксит - Стратегические игры

Точнее говоря, при значениях n от n = 1 до n = ∞ (где n — месяцы бессрочного отказа от сотрудничества начиная с первого месяца, то есть месяца с номером 0) ресторан Xavier’s терпит убытки 36/(1 + r ) n . В математическом виде это можно записать как сумму бесконечного количества членов [160]

Поскольку r — это норма прибыли, которая должна быть положительным числом, множитель 1/(1 + r ) будет меньше 1. Как правило, его называют коэффициентом дисконтированияи обозначают греческой буквой δ. Математическое правило вычисления бесконечных сумм при δ = 1/(1+ r )<1 гласит, что эта сумма сводится к конкретному значению, в данном случае к 36/ r .

Теперь мы можем определить, решит ли Xavier’s Tapas навсегда отказаться от сотрудничества с конкурентом. Ресторан сравнит прибыль 36 с приведенной стоимостью всех убытков 36, то есть 36/ r , и в итоге навсегда откажется от сотрудничества, только если 36 > 36/ r , или r > 1. Иными словами, в данной игре отказ от сотрудничества принесет выгоду тогда, когда месячная норма прибыли превысит 100 %, что маловероятно. Следовательно, не стоит ожидать от ресторана Xavier’s отказа от взаимодействия в игре с сотрудничающим конкурентом, если оба используют стратегию «око за око». (То же самое касается ситуации, в которой оба разыгрывают стратегию бесповоротного наказания.) Когда оба ресторана применяют стратегию «око за око», кооперативный исход, при котором они устанавливают высокую цену, — и есть равновесие Нэша в этой игре. Выбор обоими игроками стратегии равноценных ответных действий создает равновесие Нэша, а значит, использование этой условной стратегии решает дилемму заключенных в игре между ресторанами.

Не забывайте о том, что стратегия равноценных ответных действий — лишь одна из многочисленных триггерных стратегий, применяемых игроками в повторяющихся дилеммах заключенных. И она одна из самых «мягких». Таким образом, если стратегия «око за око» подходит для решения дилеммы заключенных в игре между двумя ресторанами, значит, и другие, более жесткие стратегии, могут выполнить эту задачу. Как уже говорилось, стратегию бесповоротного наказания также можно использовать для поддержания сотрудничества как в этой бесконечно повторяющейся игре, так и в других играх.

В дополнение к анализу игр с конечной и бесконечной продолжительностью хотим предложить более сложный инструмент для решения игр с неизвестной продолжительностью. В некоторых повторяющихся играх участники могут не знать наверняка, сколько именно между ними будет длиться взаимодействие, но иметь определенное представление о вероятности того, что игра продлится еще один период. Например, наши рестораны могут считать, что их повторяющееся сотрудничество будет продолжаться только до тех пор, пока клиенты будут отдавать предпочтение комплексным обедам, но если в течение каждого месяца появляется вероятность того, что клиенты начнут выбирать блюда по меню, характер игры изменится.

Напоминаем, что приведенная стоимость убытка за следующий месяц уже равна произведению δ = 1/(1 + r ) на заработанную сумму. Если в дополнение к этому существует только вероятность p (меньше 1) того, что игроки будут сотрудничать и в следующем месяце, то убыток за следующий месяц составит всего лишь произведение p на δ Для ресторана Xavier’s Tapas это означает, что PV убытка 36, понесенного при условии бессрочного отказа от сотрудничества, равно 36 × δ [то же, что и 36 / (1 + r )], когда предполагается, что игра точно продолжится, и всего 36 × p × δ, когда игра продолжится с вероятностью p . Включение в расчеты вероятности того, что игра может закончиться в следующем периоде, означает, что приведенная стоимость убытка 36 меньше (поскольку p < 1), чем в случае, когда игра точно будет продолжаться (то есть когда p предположительно равно 1).

Благодаря включению в расчеты вероятности p мы теперь дисконтируем будущие выигрыши на коэффициент p × δ, а не δ. Мы называем эту величину фактическим коэффициентом дисконтирования R , где 1/(1 + R ) = p × δ; при этом между R и p и δ существует следующая зависимость [161]:

Если фактическая норма прибыли на инвестиции составляет 5 % ( r = 0,05, а значит, δ = 1/1,05 = 0,95), а вероятность того, что игра продолжится в следующем месяце, равна 50 % ( p = 0,5), тогда R = [1 — (0,5)(0,95)] / [(0,5)(0,95)] = 1,1, или 110 %.

В этих примерах высокая норма прибыли, необходимая для расторжения сотрудничества, покажется более реалистичной, если назвать ее эффективной, а не фактической нормой прибыли. Теперь становится понятно, что бессрочный или даже однократный отказ от сотрудничества действительно может принести игроку выгоду при наличии достаточно большой вероятности того, что игра закончится в ближайшем будущем. Рассмотрим в качестве примера решение ресторана Xavier’s по поводу того, стоит ли навсегда отказываться от сотрудничества с конкурентом, использующим стратегию «око за око». Предыдущие расчеты показали, что бессрочный отказ от сотрудничества выгоден только тогда, когда r больше 1, или 100 %. Если фактическая норма прибыли ресторана Xavier’s составит 5 %, а вероятность того, что игра продолжится в следующем месяце, равна 50 %, как мы предположили выше, то норма прибыли в размере 110 % превышает критическое значение, необходимое для продолжения отказа от сотрудничества. Таким образом, кооперативное поведение, поддерживаемое стратегией «око за око», может оказаться под вопросом, если имеется довольно большая вероятность того, что повторяющаяся игра может закончиться к концу следующего раунда, а именно к моменту получения достаточно малого значения p .

Мы можем без труда обобщить идеи в отношении целесообразности отказа от сотрудничества с соперниками, использующими стратегию «око за око», с тем чтобы вы могли применять их в любой дилемме заключенных. Для этого мы используем таблицу (рис. 10.3) с общими выигрышами (выраженными в надлежащих единицах), которые соответствуют стандартной структуре выигрышей в дилемме заключенных. Эти выигрыши должны удовлетворять условию B > K > О > H, где К — кооперативный исход; О — отказ обоих игроков от сотрудничества; В — высокий выигрыш, получаемый игроком, отказавшимся от сотрудничества, в случае если другой игрок продолжает сотрудничать; и Н — низкий выигрыш, получаемый проигравшим (игрок, продолжающий сотрудничать) в той же ситуации.