Авинаш Диксит - Стратегические игры

где x t — доля X в популяции за период t; x t+ 1 — доля X в популяции за период t + 1; F Xt — уровень приспособленности X за период t; F Yt — уровень приспособленности Y за период t .

С помощью электронной таблицы расширьте область этих вычислений на большее количество поколений. (Подсказка: расположите значения x t, F Xt и F Yt в трех смежных горизонтальных ячейках таблицы, а в каждой следующей строке пусть будут представлены периоды [ t = 0, 1, 2, 3, …]. Используйте формулы электронной таблицы, для того чтобы соотнести F Xt и F Yt c x t и x t+ 1в соответствии с представленной моделью динамики популяции.)

a) Если в период 1 (другими словами, когда x 0 = 0,5) в популяции имеет место равное соотношение X и Y , какой будет доля X в следующем поколении, то есть x 1? Чему равны значения F X 1и F Y 1?

b) С помощью электронной таблицы выполните соответствующие вычисления для очередного поколения, затем для следующего и т. д. Чему равно значение x 20с точностью до четырех десятичных знаков? Чему равны значения F X 20и F Y 20?

c) Определите x *— равновесный уровень x . Через сколько поколений популяция будет находиться в пределах 1 процента от x *?

d) Ответьте на вопрос в пункте b при x 0 = 0,1.

e) Выполните задание в пункте b при x 0 = 1.

f) Выполните задание в пункте b при x 0 = 0,99.

g) Возможны ли мономорфные равновесия в данной модели? Если да, устойчивы ли они? Обоснуйте свой вывод.

U9.Рассмотрите эволюционную игру между игроками зеленого и пурпурного типов со следующей таблицей выигрышей:

С учетом параметров a, b, c, d определите условия, которые обеспечивают устойчивое полиморфное равновесие.

U10 (дополнительное упражнение для студентов с хорошей математической подготовкой).Пусть в эволюционной игре с тремя типами, представленной в разделе 5и на рис. 12.11, q 3 = 1 — q 1 — q 2 — доля агрессивных оранжевогорлых игуан. В таком случае динамику изменения доли каждого типа игуан в популяции можно описать так:

q 1увеличивается тогда и только тогда, когда — q 2 + q 3 > 0,

q 2увеличивается тогда и только тогда, когда q 1 — q 3 > 0.

Хотя это и не было оговорено в явном виде в разделе 5, но аналогичное правило для q 3выглядит так:

q 3увеличивается тогда и только тогда, когда — q 1 + q 2 > 0.

a) Выполните более подробный анализ этой динамики. Пусть скорость изменения переменной x во времени t обозначается посредством производной dx / dt . Далее предположим, что

Проверьте, подтверждают ли эти производные сформулированные выше утверждения в отношении динамики популяции.

b) Определим X = ( q 1) 2 + ( q 2) 2 + ( q 3) 2. С помощью формул дифференцирования сложных функций покажите, что dX / dt = 0, иными словами, продемонстрируйте, что значение X остается постоянным по времени.

c) Мы знаем, что q 1 + q 2 + q 3 = 1. Используя этот факт в совокупности c результатом из пункта b, покажите, что с течением времени точка ( q 1, q 2, q 3) движется в трехмерном пространстве по кругу.

d) Говорит ли ответ, полученный в пункте c, об устойчивости эволюционной динамики в популяции пятнистобоких игуан?

В 1996 году Джеймс Миррлис получил Нобелевскую премию по экономике за новаторскую работу по оптимальному нелинейному налогообложению доходов и связанным с ним политическим вопросам. Многие неэкономисты и некоторые экономисты нашли ее трудной для понимания. Однако журнал Economist дал ей блестящую характеристику, подчеркнув ее важность и значимость, а также отметив, что Миррлис показал, «как иметь дело с тем, кто знает больше вас» [236].

В главе 8мы уже видели, как асимметричная информация влияет на анализ игры. Но основная задача, которую пытался решить Миррлис, несколько отличалась от ситуаций, рассмотренных нами ранее. В его работе одному игроку (правительству) требовалось составить такой свод правил, при котором стимулы другого игрока (налогоплательщика) соответствовали бы целям первого игрока. В настоящее время модели, применимые к широкому спектру социальных и экономических взаимодействий и основанные на общей концептуальной схеме, в соответствии с которой менее информированный игрок выполняет действия, выгодные для более информированного игрока, существуют в большом количестве. Обычно менее информированного игрока называют принципалом , а более информированного — агентом ; соответственно, такие модели обозначаются термином «модель “принципал — агент”». Сам процесс, используемый принципалом для создания правильного набора стимулов для агента, известен как разработка механизмов.

В модели Миррлиса правительство пытается найти баланс между эффективностью и справедливостью; оно хочет, чтобы более продуктивные члены общества вкладывали усилия в увеличение общего объема производства, после чего правительство бы перераспределяло доходы в пользу неимущих. Если бы ему была точно известна потенциальная производительность каждого человека и оно могло бы отслеживать количество и качество вложенных усилий, каждый член общества просто был бы обязан трудиться в соответствии со своими возможностями, а плоды его труда распределялись бы согласно потребностям людей. Но сбор столь подробной информации слишком дорогостоящий, если вообще возможен, кроме того, не меньше трудностей возникло бы с практической реализацией таких схем перераспределения. Каждый человек прекрасно знает свои способности и потребности, поэтому выбирает собственный уровень усилий, но ему выгоднее скрывать эту информацию от правительства. Когда человек делает вид, что у него меньше способностей и больше потребностей, это позволяет ему выплачивать меньше налогов или получать помощь от правительства; при этом стимул вкладывать усилия ослабевает, когда правительство забирает часть дохода. Правительство должно просчитывать свою налоговую политику или разрабатывать налогово-бюджетный механизм с учетом всех этих нюансов с информацией и стимулами. Миррлису удалось решить сложную задачу разработки механизмов в рамках концептуальной схемы «принципал — агент».