Авинаш Диксит - Стратегические игры

b) На графике с осями координат x и y покажите области (комбинации значений x и y ), в которых каждое из правил ответа [от (i) до (iii) в пункте а] наилучшее.

c) Какой вывод можно сделать на основании анализа равновесия Нэша в игре, где три кандидата выбирают позиции?

U1.Выполните упражнение S1для ситуации, в которой Б устанавливает порядок голосования и хочет сделать так, чтобы победила социология.

U2.Выполните упражнение S2, определив систему весов в подсчете Борда, при которой победит кандидат Б.

U3.Ежегодно кубок Хайсмана присуждается игрокам университетского футбола посредством подсчета Борда. Каждый голосующий голосует за первое, второе и третье место, присваивая им 3, 2 и 1 балл соответственно. Таким образом, схему присвоения баллов в системе Борда можно обозначить как (3–2–1), где первая цифра — количество баллов, соответствующих голосу за первое место, вторая цифра — за второе и третья — за третье место. В 2004 году голоса за первых пятерых кандидатов на получение кубка по системе Борда распределились так:

a) Сравните суммы баллов, полученные Лейнартом и Питерсоном. С каким отрывом по баллам в системе Борда победил Лейнарт?

b) Кажется вполне справедливым, что схема присвоения баллов должна обеспечивать голосу за первое место как минимум такой же вес, как и голосу за второе место, а голосу за второе место как минимум такой же вес, как и голосу за третье место. Другими словами, в схеме присвоения баллов ( x — y — z ) должно выполняться условие x ≥ y ≥ z . Существует ли схема присвоения баллов с учетом этого ограничения «справедливости», при которой Лейнарт проиграл бы? Если да, опишите ее. Если нет, обоснуйте свой вывод.

c) Хотя Уайт получил больше голосов за первое место, чем Питерсон, последний набрал большее общее количество баллов в системе Борда. Предположим, голос за второе место получает 2 балла, а за третье 1 балл, то есть схема присвоения баллов такова: ( x — 2–1). При каком минимальном целом значении x Уайт получит большее количество баллов в системе Борда, чем Питерсон?

d) Допустим, представленные выше данные о голосовании отображают истинные предпочтения его участников. Для простоты будем считать, что голосование проводится по принципу относительного большинства, а не по методу Борда. Обратите внимание, что и Лейнарт, и Буш из Университета Южной Калифорнии (USC), тогда как Питерсон и Уайт — из Оклахомы. Предположим, что по причине лояльности к Оклахоме все участники голосования, отдающие предпочтение Уайту, ставят на второе место Питерсона. Если бы они использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, могли бы они изменить исход выборов? Обоснуйте свой вывод.

f) Теперь представим, что по причине лояльности к Университету Южной Калифорнии все участники голосования, предпочитающие Буша, ставят на второе место Лейнарта. Если бы все четыре группы голосующих (за Лейнарта, Питерсона, Уайта и Буша) использовали стратегическое голосование в системе относительного большинства, то кто бы получил кубок Хайсмана?

g) В 2004 году за присуждение кубка Хайсмана голосовало 923 человека. При фактической системе присвоения голосов (3–2–1) какое минимальное целое количество голосов понадобилось бы для победы (то есть без помощи голосов, отданных за второе или третье место)? Обратите внимание, что имя игрока может быть указано в бюллетене только один раз.

U4.Фигуристы на Олимпийских играх откатывают две программы, короткую и произвольную. За выполнение каждой программы жюри из девяти судей выставляет фигуристам оценки, а затем составляет их рейтинг. Позиция фигуриста в рейтинге используется для определения окончательной оценки. Рейтинг фигуриста зависит от того, сколько судей отдадут ему первое (второе или третье) место; фигурист, которого считают лучшим большинство судей, получает в рейтинге первое место и т. д. При подсчете окончательной оценки фигуриста короткая программа получает половину веса произвольной программы (то есть окончательная оценка = 0,5 (рейтинг в короткой программе) + рейтинг в произвольной программе). Фигурист с самой низкой окончательной оценкой выигрывает золотую медаль. В случае равных оценок золотая медаль достается фигуристу с самым высоким (по мнению большинства судей) рейтингом в произвольной программе. В 2002 году, во время соревнований по одиночному фигурному катанию среди женщин в Солт-Лейк-Сити Мишель Кван занимала первое место после короткой программы. Далее следовали Ирина Слуцкая, Саша Коэн и Сара Хьюз, занимавшие соответственно второе, третье и четвертое места. В произвольной программе оценки на карточках судей, выставленные этим четырем фигуристкам, распределились следующим образом:

a) На Олимпиаде Слуцкая выступала последней из ведущих фигуристов. Используйте информацию на карточках судей, чтобы определить рейтинги судей, выставленные Кван, Коэн и Хьюз за произвольную программу до выступления Слуцкой. Затем, воспользовавшись указанными выше позициями в рейтинге за короткую программу и только что вычисленным вами рейтингом за произвольную программу, определите окончательные оценки и позиции этих трех фигуристок до выступления Слуцкой. (Обратите внимание, что у Кван в короткой программе был рейтинг 1, значит, ее частичная оценка после короткой программы составляет 0,5.)

b) На основании вашего ответа в пункте а определите, каким был бы окончательный результат соревнований, если бы судьи присвоили Слуцкой за произвольную программу более высокий рейтинг, чем рейтинг остальных трех фигуристок.

c) С помощью карточек судей вычислите фактические окончательные оценки всех четырех фигуристок после выступления Слуцкой. Как бы в итоге распределились места?

d) Какой важный принцип из сформулированных Эрроу нарушает система оценивания олимпийских соревнований по фигурному катанию? Обоснуйте свой вывод.

U5.В 2008 году, во время выдвижения кандидатов в президенты США, в супервторник, 5 февраля, в форме первичных выборов и партийных собраний Республиканской партии прошло 21 мероприятие. К этому дню (всего через месяц после партийного собрания в штате Айова, которое положило начало всему процессу) более половины кандидатов от Республиканской партии уже выбыли из гонки; осталось всего четыре кандидата: Джон Маккейн, Митт Ромни, Майк Хакаби и Рон Пол. Ранее Маккейн, Ромни и Хакаби выигрывали минимум в одном штате. За неделю до этого важного дня Маккейн победил Ромни во Флориде, и в тот момент казалось, будто только у них двоих есть реальные шансы на выдвижение кандидатом в президенты. В этом сезоне первичных выборов, что типично для Республиканской партии, почти каждое состязание между кандидатами от «великой старой партии» (будь то в форме первичных выборов или партийного собрания) было решающим, поэтому победа в определенном штате позволила бы кандидату получить голоса всех делегатов, закрепленных за этим штатом Национальным комитетом Республиканской партии.