Авинаш Диксит - Стратегические игры

P х = 15 + 0,25 P y .

Это уравнение определяет значение P х , при котором прибыль ресторана Xavier’s будет максимальной при соответствующем значении цены ресторана Yvonne’s P y . Иными словами, это и есть то, что нам нужно: правило наилучшего ответа ресторана Xavier’s.

Правило наилучшего ответа ресторана Yvonne’s можно найти аналогичным способом. Поскольку затраты на обслуживание клиентов и объемы продаж двух ресторанов полностью симметричны, очевидно, что это уравнение будет иметь такой вид:

P у = 15 + 0,25 P х .

Оба правила используются одним и тем же способом для построения графиков наилучших ответов. Например, если Xavier’s назначит цену 16, то Yvonne’s введет это значение в свое правило наилучшего ответа, чтобы найти P у = 15 + 0,25 (16) = 19; точно так же наилучший ответ ресторана Xavier’s на значение цены ресторана Yvonne’s P у = 16 составляет P х = 19, наилучший ответ каждого ресторана на цену другого 4 равен 16, на цену 8 — 17 и т. д.

На рис. 5.1 приведены графики этих двух правил наилучшего ответа. В силу особенностей нашего примера (линейная зависимость между объемом продаж и назначенными ценами, а также постоянные издержки на приготовление каждого блюда) оба графика наилучших ответовпредставляют собой прямые линии. При других характеристиках спроса и затрат они могут не быть прямыми линиями, но метод их построения тот же, а именно: сначала зафиксировать цену одного ресторана (скажем, P у ), а затем найти значение цены другого ресторана (например, P х ), которая максимизирует прибыль второго ресторана, и наоборот.

Рис. 5.1.Графики наилучших ответов и равновесия в игре «ценообразование в ресторанах»

Точка пересечения двух графиков наилучшего ответа — это равновесие Нэша в игре в ценообразование между двумя ресторанами. Она представляет пару цен (по одной на каждую компанию), которые являются наилучшими ответами друг на друга. Конкретные значения для равновесной стратегии ценообразования каждого ресторана можно вычислить алгебраически, решив два правила наилучших ответов относительно P x и P y . Мы намеренно выбрали такой пример, чтобы уравнения были линейными и легко решаемыми. В данном случае мы просто подставим формулу для P x в формулу для P y и получим следующее уравнение:

P y = 15 + 0,25 P х = 15 + 0,25(15 + 0,25 P y ) = 18,75 + 0,0625 P y .

Последнее уравнение можно упростить до P y = 20. Ввиду симметричности задачи не составит труда найти, что P x = 20 [60]. Таким образом, в равновесном состоянии каждый ресторан назначит цену 20 долларов на блюда в своем меню и получит 12 долларов прибыли на каждых 2400 клиентов (2400 = (44 — 2 × 20 + 20) × 100), которых обслуживает за месяц, что обеспечит общий объем прибыли 28 800 долларов в месяц.

Мы привели пример с ценообразованием в ресторанах, чтобы показать, как найти равновесие Нэша в игре, где стратегии представляют собой непрерывные переменные, такие как цены. Однако эту ситуацию целесообразно проанализировать более детально и объяснить кое-какие экономические аспекты стратегий ценообразования и прибыли при конкуренции между небольшим количеством компаний (в данном случае двух). На языке экономики такую конкуренцию называют «олигополия» , от греческих слов, означающих «малое количество продавцов».

Для начала обратите внимание, что график наилучшего ответа каждой компании наклонен вверх. В частности, если один ресторан поднимает цену на 1 доллар, наилучший ответ другого ресторана — поднять цену на 0,25 доллара, или 25 центов. Когда один ресторан повышает цену, некоторые его клиенты переходят в другой ресторан, а это означает, что его конкурент может получить прибыль за счет новых клиентов посредством частичного повышения цены. Таким образом, ресторан, поднимающий цену, помогает конкуренту увеличить прибыль. В случае равновесия Нэша, при котором каждый ресторан назначает цену независимо от другого и исходя исключительно из собственной прибыли, он не учитывает дополнительное преимущество, которое создает для другого ресторана. Могут ли они объединить усилия и договориться о повышении цен, тем самым увеличив свою прибыль? Да. Предположим, два ресторана установили цены по 24 доллара каждый; стало быть, каждый из них получит 16 долларов прибыли на каждого из 2000 клиентов (2000 = (44 — 2 × 24 + 24) × 100), которых ресторан обслуживает за месяц, следовательно, общий объем прибыли составит 32 000 долларов в месяц.

Эта игра в ценообразование в точности такая же, как и дилемма заключенных, рассмотренная в главе 4, но теперь стратегии носят непрерывный характер. В истории из главы 4у мужа и жены было искушение предать друг друга и признаться в совершении преступления в полиции, однако, сделав это, оба бы получили более длинные тюремные сроки (худшие исходы игры). Аналогично более прибыльная цена 24 доллара не является равновесием Нэша. Каждый из ресторанов, произведя расчеты, попытается предложить клиентам более низкую цену. Предположим, Yvonne’s начнет с цены 24 доллара. Воспользовавшись формулой наилучших ответов, можно определить, что Xavier’s при этом установит цену 15 + 0,25 × 24 = 21. Далее Yvonne’s отреагирует своим наилучшим ответом: 15 + 0,25 × 21 = 20,25. В случае продолжения этого процесса цены обоих ресторанов сведутся к равновесию Нэша, то есть к 20 долларам.

Но какая цена выгоднее для обоих ресторанов? При наличии симметрии допустим, что оба заведения назначат одну и ту же цену Р . Тогда прибыль каждого ресторана равна:

π x = π y = ( P — 8) (44 — 2 P + P ) = ( P — 8) (44 — P ) = — 352 + 52 P — P 2 .

Оба могут выбрать Р для максимизации формулы. Воспользовавшись уравнением, представленным в разделе 1.А, мы видим, что решение: Р = 52/2 = 26. Полученная в результате прибыль каждого ресторана составит 32 400 долларов в месяц.

На языке экономики соглашение о повышении цен до уровня, оптимального для обеих сторон, называется картелем . Высокие цены наносят ущерб потребителям, поэтому органы государственного регулирования США обычно пытаются предотвратить образование картелей и заставить компании конкурировать друг с другом. Явный сговор по поводу цен находится вне закона, но негласный сговор все же может иметь место в повторяющейся дилемме заключенных (мы проанализируем повторяющиеся игры такого рода в главе 10) [61].

Сговор необязательно приводит к повышению цен. В нашем примере, если один ресторан снизит цену, его объем продаж увеличится отчасти потому, что он переманит некоторых клиентов от конкурента, поскольку продукты (блюда) двух ресторанов взаимозаменяемы . В других контекстах две компании могут продавать взаимодополняющие продукты, скажем программное и аппаратное обеспечение. В этом случае, если одна из них снижает цену, объем продаж в обеих компаниях возрастает. При равновесии Нэша, когда две фирмы действуют независимо друг от друга, они не учитывают выгоду, которую принесло бы обеим снижение цен. Следовательно, они поддерживают цены на более высоком уровне, чем если бы координировали свои действия. Сотрудничество между такими компаниями привело бы к снижению цен, что было бы выгодно и клиентам.