Авинаш Диксит - Стратегические игры

Во втором случае кривые наилучших ответов обеих партий смещаются в соответствии с более сложной схемой. В итоге обе несут равные расходы на рекламу, но меньше 25, как в симметричной ситуации. В нашем примере, где эффективность рекламных расходов партии П в два раза превышает эффективность расходов партии Л, это приводит к тому, что объем расходов каждой партии составляет 200 / 9 = 22,2 < 25. (Следовательно, именно в симметричной ситуации наблюдается самая острая конкуренция.) Если рекламные расходы партии П более эффективны, верно также и то, что в связи с характером асимметричности кривых наилучших ответов новое равновесие Нэша вместо точек максимума этих двух кривых расположено на нисходящей части кривой наилучших ответов партии Л и восходящей части кривой наилучших ответов партии П. Иными словами, хотя обе партии тратят на рекламу одинаковую сумму, объем рекламных расходов партии П, находящейся в более благоприятных условиях, превышает сумму, вызывающую максимальный ответ партии Л, а объем рекламных расходов более слабой партии Л меньше суммы, способной вызвать максимальный ответ партии П. В конце данной главы приведено дополнительное упражнение ( U12 ), которое позволит студентам с более высоким уровнем математических знаний вывести эти результаты.

Хотя стратегии (цены или расходы на политическую рекламу) и выигрыши (прибыль и доля голосов избирателей) в предыдущих двух примерах связаны с конкуренцией между компаниями или политическими партиями, данный метод поиска равновесия Нэша в игре с непрерывными стратегиями абсолютно универсален и вы можете использовать его для решения других подобных игр.

Предположим, игроки следуют под номерами 1, 2, 3, …. Обозначим их стратегии как х, у, z , … в этом порядке, а выигрыши — соответствующими заглавными буквами X, Y, Z , …. В общем случае выигрыш каждого игрока является функцией выбора всех игроков; отметим соответствующие функции как F, G, H , … На основании этой информации об игре составим выигрыши и запишем их так:

X = F ( x, y, z , …), Y = G ( x, y, z , …), Z = H ( x, y, z , …).

Если использовать этот общий формат для описания нашего примера с ценовой конкуренцией между двумя игроками (компаниями), то стратегии x и y становятся ценами P x и P y . Выигрыши X и Y — это прибыль π x и π y . Функции F и G — квадратичные функции вида

π x = –8(44 + P y ) + (16 + 44 + P y ) P x — 2( P x ) 2.

Аналогичная формула есть для π y .

Согласно общему подходу, игрок 1 рассматривает стратегии игроков 2, 3, … как не поддающиеся его контролю и выбирает свою стратегию так, чтобы максимально увеличить собственный выигрыш. Следовательно, для каждого заданного множества значений y, z , … выбор игроком 1 значения х максимизирует X = F ( x, y, z , …). При использовании дифференциального исчисления условие такой максимизации состоит в том, что производная от X по х при постоянном значении y, z , … (это частная производная) равна нулю. Для особых функций существуют простые формулы, подобные приведенной выше и использованной для квадратичной функции. И даже если алгебраические формулировки или исчисление слишком сложны, есть немало компьютерных программ, которые составят для вас таблицы или построят графики наилучших ответов. Какой бы метод вы ни применили, вы можете найти уравнение оптимального выбора игроком 1 значения x при заданных значениях y, z , …, описывающее функцию наилучшего ответа игрока 1. Аналогичным способом можно найти функции наилучших ответов всех остальных игроков.

Функции наилучших ответов соответствуют числу стратегий в игре и могут быть решены одновременно при условии, что стратегические переменные рассматриваются как неизвестные величины. Это решение и есть равновесие Нэша, которое мы ищем. В одних играх может быть множество решений, обеспечивающих множество равновесий Нэша, в других решение может отсутствовать, что требует дальнейшего анализа, например включения смешанных стратегий.

Хотя равновесие Нэша — важнейшая концепция решения игр с одновременными ходами, оно стало объектом ряда теоретических критических замечаний. В данном разделе мы кратко рассмотрим некоторые из них, а также приведем контраргументы, подкрепляя каждый примером [62]. Отдельные критические замечания противоречат друг другу; есть и подлежащие опровержению при более тщательном анализе игр. Некоторые утверждают, что сама концепция равновесия Нэша неполная, и предлагают дополненные или расширенные концепции с более эффективными свойствами. Мы сформулируем в данном разделе одну из таких альтернатив и укажем еще на несколько в последующих главах. Мы убеждены, что наши объяснения помогут вам заново обрести, хотя и с оговорками, уверенность в целесообразности применения концепции равновесия Нэша. Однако определенные серьезные сомнения остаются неразрешенными, и это говорит о том, что теорию игр пока еще нельзя назвать окончательно сформировавшейся наукой. Но даже этот факт должен воодушевить начинающих специалистов по теории игр, поскольку открывает перед ними широкое поле для новых идей и исследований. Неразвивающаяся наука — мертвая наука.

Давайте начнем с анализа основного фактора привлекательности концепции равновесия Нэша. Большинство игр в этой книге относятся к категории некооперативных, то есть тех, в которых игроки действуют независимо друг от друга. Следовательно, было бы естественно предположить, что если действие игрока нельзя назвать лучшим согласно его системе ценностей (шкале выигрышей) в контексте действий других игроков, то он изменит его. Иными словами, весьма заманчиво предположить, что действие каждого игрока будет представлять собой наилучший ответ на действия остальных игроков. Равновесие Нэша обладает именно таким свойством «одновременных наилучших ответов»; собственно говоря, это и есть его определение. При любом предполагаемом исходе, не являющемся равновесием Нэша, минимум один игрок мог бы добиться более выгодных для себя результатов, переключившись на другое действие.

Такие соображения заставили нобелевского лауреата Роджера Майерсона возразить против критических замечаний в адрес равновесия Нэша, основанных на интуитивной привлекательности использования другой стратегии. В качестве контрдовода Майерсон просто переложил бремя доказывания на критика. «Когда меня спрашивают, почему участники игры должны вести себя так, как предписывает равновесие Нэша, — сказал он, — мой любимый ответ — спросить “Почему бы нет?” и предоставить сомневающемуся возможность предложить свой вариант того, что, по его мнению, должны делать игроки. Если этот вариант не является равновесием Нэша, тогда… мы можем продемонстрировать, что он бы свел к нулю собственную обоснованность, если бы игроки считали его точным описанием поведения друг друга» [63].