Авинаш Диксит - Стратегические игры

Тогда как в одних играх может быть слишком много равновесий Нэша, в других они могут отсутствовать вообще. Мы приводили пример подобной игры в разделе 7 главы 4, а также уточнили, что равновесие Нэша можно восстановить, расширив концепцию стратегии на случайные комбинации стратегий. В главе 7мы объясним и проанализируем равновесия Нэша в смешанных стратегиях. На более высоких уровнях теории игр существуют и более сложные примеры игр, в которых равновесия Нэша нет и в смешанных стратегиях. Однако такая дополнительная сложность не имеет отношения к рассматриваемым в данной книге типам анализа и областям применения, поэтому мы не будем затрагивать здесь эту тему.

Как вы уже знаете, равновесие Нэша можно рассматривать как систему стратегических вариантов выбора каждого игрока, а также его убеждений в отношении выбора других игроков. В случае равновесия 1) выбор каждого игрока должен обеспечивать ему лучший выигрыш с учетом его убеждения в отношении выбора других игроков; 2) убеждение каждого игрока должно быть правильным, то есть его фактический выбор должен быть именно таким, каким он должен быть, по его твердому убеждению. Такова естественная интерпретация требований о взаимной согласованности рационального выбора отдельных игроков. Если у всех игроков есть общее знание того, что они рациональны, то как может один из них иметь рациональные убеждения в отношении выбора других игроков, не соответствующие рациональной реакции на его собственные действия?

Для того чтобы изучить этот вопрос, рассмотрим игру три на три, представленную на рис. 5.5. Анализ наилучших ответов позволяет быстро определить, что в ней всего одно равновесие Нэша, а именно R2, C2, обеспечивающее выигрыш 3, 3. В этом равновесии Строка выбирает вариант R2, исходя из убеждения, что Столбец сыграет C2. Почему Строка в этом убеждена? Потому что она знает Столбца как рационального игрока, но в то же время она должна считать, что Столбец убежден в ее выборе варианта R2 по той причине, что вариант С2 не будет его наилучшим выбором, если бы он полагал, что Строка сыграет либо R1, либо R3. Таким образом, суть этого утверждения состоит в том, что убеждения, полученные в результате рационального процесса формирования, должны быть правильными.

Рис. 5.5.Обоснование выбора посредством цепочки убеждений и ответных действий

Проблема такой аргументации состоит в том, что она ограничена одним циклом рассуждений об убеждениях. Продолжив их, мы можем обосновать и другие комбинации вариантов выбора. Например, можно рационально обосновать выбор Строкой варианта R1. Для этого отметим, что R1 — лучший выбор Строки в случае, если она убеждена, что Столбец сыграет С3. Почему Строка в этом убеждена? Потому что уверена, что Столбец убежден в том, что она выберет R3. Строка обосновывает это убеждение, считая, что Столбец убежден в том, что Строка убеждена в том, что Столбец сыграет С1, будучи убежденным в том, что Строка предпочтет вариант R1, будучи, в свою очередь, убежденной в том, что… Каждое звено этой цепочки убеждений абсолютно рационально.

Таким образом, рациональность сама по себе не объясняет равновесия Нэша. Существуют более сложные доводы такого рода, действительно позволяющие обосновать особый вид равновесия Нэша, при котором игроки могут поставить свои стратегии в зависимость от поддающегося наблюдению инструмента рандомизации (случайного выбора). Однако мы оставим эту тему для более углубленного изучения и сформулируем в следующем разделе более простую концепцию, отражающую то, что логически вытекает из общего знания игроков только об их рациональности.

Какие стратегические варианты выбора в играх можно обосновать, исходя исключительно из рациональности? В матрице игры на рис. 5.5мы можем объяснить любую пару стратегий, по одной на каждого игрока, посредством применения той же логики, что и в разделе 2.В. Иными словами, можем обосновать любую из девяти возможных комбинаций. Следовательно, рациональность в чистом виде не позволяет нам сократить совокупность вероятных исходов игры или вообще спрогнозировать их. Присуще ли это всем играм? Нет. Например, если стратегия доминируемая, ее можно исключить из рассмотрения на основе одной только рациональности. А когда игроки осознают, что их соперники, будучи рациональными, не выберут доминируемые стратегии, исходя из такого общего знания можно выполнить итеративное исключение доминируемых стратегий. Лучшее ли это из доступных действий? Нет. Можно продолжить дальнейшее исключение стратегий, воспользовавшись несколько более сильным свойством, чем доминируемость в чистых стратегиях. Оно определяет стратегии, которые не могут быть наилучшим ответом. Стратегии, оставшиеся после такой процедуры исключения, называются рационализируемыми, а сама концепция — рационализацией.

Зачем вводить эту дополнительную концепцию, и что она нам дает? Что касается первого вопроса, полезно знать, насколько можно сузить совокупность возможных исходов игры на основании одной лишь рациональности игроков, не прибегая к правильности ожиданий относительно фактического выбора игрока. Иногда можно определить, что игрок не выберет то или иное действие или действия, даже если нельзя вычислить, какое именно действие он все же выберет . Ответ на второй вопрос зависит от контекста. Порой рационализация вообще не позволяет сократить совокупность исходов игры. Именно так было в примере три на три, представленном на рис. 5.5. Подчас рационализация позволяет это сделать только до определенной степени, но не до равновесия Нэша, если оно в игре всего одно, или не до совокупности равновесий Нэша, если их в игре несколько. Примером такой ситуации может служить расширенный до матрицы четыре на четыре предыдущий пример, который рассматривается в разделе 3.Аниже. Иногда сокращение совокупности возможных исходов игры приводит к определению единственного равновесия Нэша, причем в подобных случаях мы имеем его более веское обоснование, опирающееся исключительно на рациональность, без предположений о правильности ожиданий. Ниже в разделе 3.Бпредставлен пример игры с конкуренцией по количеству, в котором аргументация на основе концепции рационализации позволяет найти в ней единственное равновесие Нэша.

Рассмотрим игру на рис. 5.6, аналогичную той, что приведена на рис. 5.5, но с дополнительной стратегией на каждого игрока [65]. Как отмечалось выше, девять комбинаций стратегий, в которые входит одна из первых трех стратегий для каждого из игроков, можно обосновать посредством цепочки убеждений игроков в отношении убеждений друг друга. Это верно и в увеличенной матрице. Но подходит ли такой способ для стратегий R4 и C4?