Авинаш Диксит - Стратегические игры

На рис. 5.7 представлены графики наилучших ответов двух рыбаков (обозначенные как BR1 и BR2 с указанием соответствующих уравнений), а также равновесие Нэша (обозначенное как N с указанием координат) на пересечении двух линий. Кроме того, на рис. 5.7 также показано, как сократить совокупность убеждений игроков в отношении выбора друг друга посредством итеративного исключения стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом.

Рис. 5.7.Поиск равновесия Нэша с помощью рационализации

Какие значения S , по рациональному убеждению владельца первой лодки, выберет владелец второй лодки? Это зависит от того, какой улов, по мнению владельца второй лодки, получит владелец первой лодки. Но каким бы ни был этот улов, наилучшие ответы владельца второй лодки находятся в диапазоне от 0 до 12 бочек. Следовательно, владелец первой лодки не может рационально считать, что владелец второй лодки выберет что-то другое: все отрицательные варианты выбора (что очевидно) и все значения S , превышающие 12 бочек (что менее очевидно), исключаются. Точно так же владелец второй лодки не может рационально считать, что владелец первой лодки выловит рыбы меньше 0 или больше 15 бочек.

Теперь перейдем ко второму циклу рассуждений. Когда владелец первой лодки ограничит варианты выбора значений S владельцем второй лодки диапазоном от 0 до 12 бочек, его собственные варианты выбора значений R будут ограничены диапазоном наилучших ответов на диапазон значений S . Наилучший ответ на S = 0 — это R = 15, а наилучший ответ на S = 12 — это R = 15–12 / 2 = 9. Поскольку график BR1 наклонен вниз, все значения R , допустимые на данном этапе рассуждений, лежат в диапазоне от 9 до 15. Точно так же выбор владельцем второй лодки значений S ограничен диапазоном наилучших ответов на R от 0 до 15, точнее говоря, значениями от S = 12 до S = 12–15 / 2 = 4,5. Эти ограниченные диапазоны значений показаны на рис. 5.7на осях координат.

Третий цикл рассуждений сужает диапазоны значений еще больше. Поскольку значение R должно составлять минимум 9, а график BR2 имеет отрицательный наклон, S может быть не более чем наилучшим ответом на 9; в частности, S = 12 — 9 / 2 = 7,5. В ходе второго цикла рассуждений уже было показано, что значение S должно быть как минимум 4,5. Следовательно, теперь значения S ограничены диапазоном от 4,5 до 7,5. Кроме того, так как значение S должно быть не менее 4,5, значение R может составлять не более 15 — 4,5 / 2 = 12,75. Во втором цикле рассуждений мы узнали, что значение R должно равняться минимум 9, а значит, теперь оно ограничено диапазоном от 9 до 12,75.

Эту последовательность циклов рассуждений можно продолжать сколько угодно, но уже сейчас очевидно, что последовательное сужение диапазонов значений двух показателей сводит эти значения к равновесию Нэша, R = 12 и S = 6. Таким образом, равновесие Нэша — единственный исход игры, остающийся после итеративного исключения стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом [69]. Мы знаем, что в общем аргументация на основе концепции рационализации не обязательно должна сводить исходы игры к равновесиям Нэша, а значит, это особое свойство данного примера. В действительности этот процесс применим к целому классу игр и позволяет решить любую игру, имеющую единственное равновесие Нэша на пересечении нисходящих кривых наилучших ответов [70].

Эту аргументацию следует отличать от прежней, основанной на последовательности наилучших ответов. Тогда ход рассуждений выглядел следующим образом. Начнем с любой стратегии одного из игроков, скажем R = 18. В этом случае наилучший ответ другого игрока S = 12–18/2 = 3. Наилучший ответ R на S = 3 — это R = 15 — 3/2 = 13,5. В свою очередь, наилучший ответ S на R =13,5 — 12–13,5/2 = 5,25. Тогда наилучший ответ R против этого значения S составляет R = 15 — 5,25/2 = 12,375. И так далее.

Цепочка рассуждений в прежней аргументации также сходится к равновесию Нэша, но в ней есть один недостаток. Речь идет об игре с одновременными ходами, разыгрываемой только раз. В такой ситуации невозможно, чтобы один игрок отреагировал на выбор другого игрока, после чего первый игрок снова предпринял ответное действие и т. д. Если бы такая динамика игры допускалась, разве игроки не предвидели бы реакцию друг друга и не предприняли бы совсем другие действия?

Аргументация на основе концепции рационализации представляет собой нечто иное. В ней четко учитывается тот факт, что игра проходит только раз и сводится к одновременному выполнению ходов. Все размышления относительно цепочки наилучших ответов выполняются с опережением событий, а все последующие циклы рассуждений и ответных действий носят сугубо концептуальный характер. Игроки реагируют не на фактический выбор, а лишь на расчетные значения того выбора, который так и не будет сделан. Весь процесс протекает исключительно в головах игроков.

В главе 3, посвященной анализу эмпирических данных об играх с последовательными ходами и методу обратных рассуждений, мы представили данные, полученные в ходе наблюдений за играми, происходящими в реальной жизни, и играми, специально разработанными для проверки теории в лабораторных условиях. Там же мы выделили различные достоинства и недостатки двух методов оценки достоверности прогнозов, полученных посредством поиска равновесия методом обратных рассуждений. Аналогичные вопросы возникают и в связи с получением и интерпретацией эмпирических данных относительно равновесия Нэша в играх с одновременными ходами.

В реальных играх делаются крупные ставки, и в основном в них участвуют опытные игроки, обладающие знаниями и стимулами для применения эффективных стратегий. Но в таких ситуациях присутствует много факторов, выходящих за рамки того, что изучает теория. Например, в реальных играх трудно отслеживать количественные выигрыши, которые получили бы игроки при всех возможных комбинациях стратегий. Поэтому, если их поведение не подтверждает теоретические прогнозы, невозможно определить, обусловлено ли это ошибочностью теории или тем, что какие-то иные факторы превосходят стратегические соображения.

В ходе лабораторных экспериментов эти факторы пытаются учитывать, чтобы обеспечить более точную проверку теории. Но организаторы экспериментов зачастую привлекают неопытных игроков и предоставляют им слишком мало времени и относительно слабые стимулы для изучения игры. Столкнувшись с новой игрой, большинство из нас поначалу с трудом ориентируется в ней и пробует играть бессистемно. По этой причине несколько ее первых раундов в условиях эксперимента могут представлять собой этап обучения, а не равновесие, которое нашел бы в игре опытный игрок. Обычно такую неопытность и обучение учитывают, исключая из рассмотрения данные первых нескольких раундов игры, однако этап обучения может длиться дольше, чем одно утро или вторая половина дня, что зачастую составляет предельную продолжительность лабораторных сеансов.