Авинаш Диксит - Стратегические игры

Некоторые критики утверждают, что концепция равновесия Нэша не уделяет должного внимания риску. В ряде игр можно найти стратегии, отличающиеся от стратегий равновесия Нэша тем, что они более безопасны, а значит, было бы целесообразнее выбрать именно их. Мы предлагаем два примера игр такого типа. Автор первого — профессор экономики Калифорнийского университета в Беркли Джон Морган; таблица этой игры представлена на рис. 5.3.

Рис. 5.3.Игра со спорным равновесием Нэша

Анализ наилучших ответов позволяет быстро определить, что в этой игре есть единственное равновесие Нэша, а именно сочетание стратегий А, А, обеспечивающее выигрыши 2, 2. Но вы, как и многие другие участники экспериментов, проведенных Морганом, можете подумать, что стратегия С весьма привлекательна по двум причинам. Во-первых, она гарантирует тот же выигрыш, что и при равновесии Нэша, то есть 2, тогда как, выбрав стратегию из равновесия Нэша А, вы получите выигрыш 2, только если другой игрок тоже выберет А. Зачем же идти на такой риск? Более того, если вы считаете, что другой игрок также может прибегнуть к подобному логическому обоснованию целесообразности выбора стратегии С, то вы совершили бы серьезную ошибку, предпочтя стратегию А, поскольку в таком случае вы получите выигрыш 0, тогда как могли бы получить 2, применив стратегию С.

Майерсон ответил на это так: «Не спешите. Если вы действительно считаете, что другой игрок рассуждает подобным образом и выберет стратегию С, то вам следует применить стратегию В, чтобы получить выигрыш 3. А если вы думаете, что другой игрок тоже так думает и выберет стратегию В, тогда вашим наилучшим ответом на стратегию В была бы стратегия А. А если вы полагаете, что другой игрок также это поймет, вы должны выбрать свой наилучший ответ на А, то есть стратегию А. Вот мы и вернулись к равновесию Нэша!» Как видите, критика в адрес равновесия Нэша и аргументы против нее — уже сами по себе нечто вроде интеллектуальной игры, причем довольно интересной.

Второй, еще более впечатляющий пример сформулировал экономист Стэнфордской бизнес-школы Дэвид Крепс. Таблица игры приведена на рис. 5.4. Прежде чем приступить к ее теоретическому анализу, вы должны представить, что действительно играете в нее в качестве игрока А. Какое из двух действий вы выбрали бы?

Рис. 5.4.Катастрофическое равновесие Нэша?

Запомните свой ответ на заданный выше вопрос, и продолжим анализ игры. Начав с поиска доминирующих стратегий, мы увидим, что у игрока А их нет, а у игрока Б есть. Выбор стратегии «налево» гарантирует игроку Б выигрыш 10, что бы ни сделал игрок А, тогда как в случае выбора стратегии «направо» (также при любых действиях игрока А) он получит выигрыш 9,9. Следовательно, игрок Б должен играть «налево». При условии, что игрок Б предпочтет «налево», игроку А лучше выбрать «вниз». Единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях в этой игре — «вниз»/«налево», при таком ее исходе каждый участник получит выигрыш 10.

Проблема здесь в том, что многие (хотя и не все) люди, играющие роль игрока А, не выбирают стратегию «вниз». (А что выбрали вы?) Так поступают как те, кто много лет изучает теорию игр, так и те, кто никогда не слышал об этом предмете. Если у игрока А есть какие-либо сомнения по поводу выигрыша игрока Б или его рациональности, то для него гораздо безопаснее выбрать стратегию «вверх», чем равновесную стратегию «вниз». Но что если бы игрок А считал, что выигрыши совпадают с тем, что показано на рис. 5.4, а в действительности выигрыши игрока Б были бы совсем другими: выигрыш 9,9 соответствовал бы стратегии «налево», а выигрыш 10 — стратегии «направо»? Что если бы значение 9,9 было приближенным, а на самом деле точный выигрыш составлял бы 10,1? Что если бы у Б была совсем иная система ценностей или на самом деле он не относится к числу рациональных игроков и мог бы выбрать «неправильное» действие просто ради забавы? Очевидно, что наши исходные предположения о совершенной информации и рациональности действительно могут играть важную роль в процессе анализа, используемого нами при изучении стратегии. Колебания относительно игроков могут изменить те равновесия, наличие которых мы предсказали бы при обычных условиях, а также поставить под сомнение корректность концепции равновесия Нэша.

Однако реальная проблема со многими такого рода примерами не в том, что концепция равновесия Нэша неприемлема, а в том, что эти примеры иллюстрируют ее неподобающе упрощенным способом. Если в приведенном выше примере есть какие-то сомнения в выигрышах игрока Б, то этот факт должен стать неотъемлемой частью анализа. Если игрок А не знает выигрышей игрока Б, значит, это игра с асимметричной информацией (мы ее сможем обсудить только в главе 8). Но в данном примере представлена сравнительно простая игра такого типа, и мы можем без особого труда проанализировать ее равновесие.

Предположим, игрок А полагает, что существует вероятность p того, что выигрыши игрока Б при выборе стратегий «налево» и «направо» противоположны выигрышам, представленным на рис. 5.4; следовательно, (1 — p ) — это вероятность того, что выигрыши игрока Б соответствуют информации на рисунке. Поскольку игрок А вынужден действовать, не зная фактических выигрышей игрока Б, он должен применить свою стратегию как «наилучшую в среднем». В данном примере расчеты достаточно просты, так как в каждом случае у игрока Б есть доминирующая стратегия; единственная проблема для игрока А — то, что в двух разных случаях у игрока Б разные доминирующие стратегии. С вероятностью (1 — p ) доминирующая стратегия игрока Б — «налево» (случай, показанный на рисунке), а с вероятностью p его доминирующая стратегия — «направо» (противоположный случай). Таким образом, если игрок А выберет «вверх», то с вероятностью (1 — p ) он будет играть против Б, применившего «налево», а значит, получит выигрыш 9; с вероятностью p игроку А предстоит вступить в игру с игроком Б, выбравшим «справа», и, стало быть, он получит выигрыш 8. Итак, статистическое, или взвешенное по вероятности среднее значение выигрыша игрока А при выборе стратегии «вверх» составляет 9(1 — p ) + 8 p . Аналогично статистическое, или взвешенное по вероятности, среднее значение выигрыша игрока А при использовании стратегии «вниз» равно 10(1 — p ) — 1000 p . Следовательно, для игрока А предпочтительнее стратегия «вверх», если

9(1 — p ) + 8 p > 10(1 — p ) — 1000 p , или p > 1 / 1009.

Таким образом, при наличии даже малейшей вероятности того, что выигрыши игрока Б противоположны выигрышам на рис. 5.4, игроку А лучше выбрать стратегию «вверх». В данном случае правильно выполненный анализ, основанный на рациональном поведении, не противоречит ни интуитивным догадкам, ни экспериментальным данным.