Авинаш Диксит - Стратегические игры

График наилучших ответов

Непрерывные стратегии

Правила наилучших ответов

Равновесие квантильных откликов

Рационализация

Рационализируемые стратегии

Стратегии, которые не могут быть наилучшим ответом

Уточнения

S1.В игре с политической рекламой, о которой шла речь в разделе 1.Б, партия Л выбирает рекламный бюджет в размере x (миллионов долларов), а партия П — в размере y (миллионов долларов). Мы показали, что правила наилучших ответов в этой игре таковы: для партии П и для партии Л.

a) Каким будет наилучший ответ партии П, если партия Л потратит на рекламу 16 миллионов долларов?

Используйте указанные выше правила наилучших ответов для подтверждения того, что рекламные бюджеты, обеспечивающие равновесие Нэша, составляют: x = y = 25, или 25 миллионов долларов.

S2.В игре с ценообразованием в ресторанах, представленной на рис. 5.1, функции потребительского спроса на блюда в ресторанах Xavier’s ( Q x ) и Yvonne’s ( Q y ) определены как Q x = 44 — 2 P x + P y и Q y = 44 — 2 P y + P x . Кроме того, прибыль каждого ресторана зависит от затрат на обслуживание каждого клиента. Предположим, ресторану Yvonne’s удастся их сократить до 2 долларов на одного клиента, полностью отказавшись от официантов (клиенты сами выбирают блюда у стойки, а несколько оставшихся работников убирают посуду со столов). Ресторан Xavier’s по-прежнему несет расходы в размере 8 долларов на одного клиента.

a) Вычислите заново правила наилучших ответов и цены в соответствии с равновесием Нэша для этих двух ресторанов с учетом изменения объема затрат.

b) Постройте график двух кривых наилучших ответов и опишите различия между ним и графиком, представленным на рис. 5.1. В частности, какая линия сместилась, куда и насколько? Объясните почему.

S3.В Яппи-Тауне два продуктовых магазина: La Boulangerie, который продает хлеб, и La Fromagerie, который торгует сыром. Производство буханки хлеба обходится в 1 доллар, а фунта сыра — в 2 доллара. Если цена La Boulangerie составляет P 1 долларов за буханку хлеба, а La Fromagerie — P 2 доллара за фунт сыра, то их недельные объемы продаж, Q 1 буханок хлеба и Q 2 фунтов сыра, описываются следующими уравнениями:

Q 1 = 14 — P 1 — 0,5 P 2, Q 2 = 9–0,5 P 1 — P 2 .

a) Запишите прибыль каждого магазина как функцию P 1 и P 2 (в следующих упражнениях мы для краткости будем называть ее функцией прибыли). Затем установите соответствующие правила наилучших ответов. Постройте график кривых наилучших ответов и определите цены, соответствующие равновесию Нэша в этой игре.

b) Предположим, оба магазина вступят в сговор и совместно установят цены, позволяющие максимизировать общую сумму своих прибылей. Определите эти цены.

c) Дайте короткое интуитивное объяснение различий между ценами в случае равновесия Нэша и ценами, максимизирующими общую прибыль. Почему максимизация общей прибыли не является равновесием Нэша?

d) В данной задаче хлеб и сыр — взаимодополняющие продукты. Их часто потребляют вместе; именно поэтому снижение цены одного продукта приводит к увеличению объема продаж другого. В ресторанах из примера, приведенного в разделе 1.А, используются взаимозаменяющие продукты. Как это различие объясняет разницу между вашими выводами в отношении правил наилучших ответов, цен в равновесии Нэша и цен, максимизирующих общую прибыль?

S4.В игре на рис. 5.3есть единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях. Тем не менее все девять ее исходов будут рационализируемыми. Обоснуйте это утверждение, объясняя логику своих рассуждений по каждому исходу.

S5.Перечислите рационализруемые стратегии каждого игрока в игре, представленной в упражнении S5главы 4. Объясните логику своих рассуждений.

S6.В разделе 3.Бданной главы анализируется игра в рыбную ловлю, разыгрываемая в небольшом прибрежном городке. После определения правил наилучших ответов двух лодок можно использовать концепцию рационализации для обоснования равновесия Нэша в данной игре. В ее описании процесс сокращения количества стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом, сводится к трем циклам. К третьему циклу мы знаем, что R (количество бочек рыбы, выловленной лодкой 1) должно составлять минимум 9, а S (количество бочек рыбы, выловленной лодкой 2) — минимум 4,5. Процесс сокращения в ходе этого цикла ограничил значения R диапазоном от 9 до 12,75, а значения S — диапазоном от 4,5 до 7,5. Выполните еще один (четвертый) цикл сокращений и покажите полученные к его концу диапазоны значений R и S .

S7.Две тележки для торговли кокосовым молоком (из кокосового ореха) находятся в местах 0 и 1 в одной миле друг от друга на пляже в Рио-де-Жанейро. (На этом пляже кокосовое молоко продают только эти две тележки.) Тележки 0 и 1 назначают цену за каждый кокос p 0и p 1соответственно. Кокосовое молоко покупает тысяча отдыхающих, равномерно распределенных вдоль пляжа между тележками 0 и 1. В течение одного дня, проведенного на пляже, один отдыхающий покупает одну порцию кокосового молока. Помимо цены каждый отдыхающий несет транспортные издержки в размере 0,5 × d 2где d — расстояние (в милях) от его пляжного места до кокосовой тележки. В данной системе тележка 0 продает кокосовое молоко всем отдыхающим, находящимся между точками 0 и x , а тележка 1 — всем отдыхающим между точками x и 1, где x — это местоположение отдыхающего, который платит одну и ту же общую цену, куда бы он ни отправился — к тележке 0 или к тележке 1. В таком случае местоположение точки x описывает следующая формула:

p 0 + 0,5 x 2 = p 1 + 0,5(1 — x ) 2.

Две тележки установят цены таким образом, чтобы максимизировать свои показатели чистой прибыли B ; прибыль зависит от дохода (цена, установленная тележкой, умноженная на количество покупателей) и издержек (каждая тележка несет издержки в размере 0,25 доллара на один кокос, умноженные на количество проданных кокосов).

a) Выведите для каждой тележки формулу, описывающую количество обслуженных покупателей как функцию от p 0 и p 1 . (Помните, что тележка 0 обслуживает покупателей, находящихся между точками 0 и x , то есть просто x , а тележка 1 обслуживает покупателей между точками x и 1, или 1 — x. Иными словами, тележка 0 продает кокосовое молоко x покупателям, а тележка 1 (1 — x ) покупателям, где x и (1 − х ) исчисляются в тысячах.)