Авинаш Диксит - Стратегические игры

В ранее опубликованной работе Пьер-Андре Кьяппори, Тимоти Гроусклоуз и Стивен Левитт использовали аналогичные данные и получили аналогичные результаты [108]. Кроме того, они проанализировали всю последовательность выбора стратегий каждым игроком, бьющим пенальти, и каждым вратарем и не нашли случаев чрезмерного чередования. Это можно объяснить тем, что большинство одиннадцатиметровых штрафных ударов представляют собой единичные события, происходящие на протяжении многих матчей, в отличие от многократно повторяющихся розыгрышей очка в теннисе, поэтому в случае пенальти игроки чаще не учитывают то, что происходило во время предыдущих пенальти. Тем не менее все эти данные говорят о том, что действия игроков во время выполнения пенальти в футболе даже ближе к истинному смешиванию стратегий, чем в игре «подача — возврат подачи» в теннисе.

При столь убедительном эмпирическом подтверждении теории было бы резонно спросить, эффективны ли навыки смешивания стратегий, приобретенные игроками в футболе, в других игровых контекстах. Результаты одного исследования подтвердили, что да (испанские профессиональные футболисты играли в точном соответствии с равновесными прогнозами во время лабораторных экспериментов в матричных играх с нулевой суммой два на два и четыре на четыре). Тем не менее в ходе другого исследования воспроизвести эти результаты не удалось. В его рамках анализировались показатели игроков американской Высшей лиги футбола, а также участников Мировой серии покера (у которых, как говорилось в разделе 8, также есть профессиональные причины для предотвращения использования их действий соперниками с выгодой для себя посредством смешивания стратегий) и было установлено, что поведение профессиональных игроков во время абстрактных матричных игр так же далеко от равновесия, как и поведение студентов. Как и в случае исследований с участием профессиональных шахматистов, о которых шла речь в главе 3, при наличии опыта профессиональные игроки смешивают стратегии в соответствии с теорией равновесия в своей профессиональной сфере, но этот опыт не приводит их автоматически к равновесию в новых и незнакомых играх [109].

Лабораторные эксперименты со смешиванием стратегий в играх с ненулевой суммой дают еще более отрицательные результаты, чем аналогичные эксперименты в играх с нулевой суммой. И это неудивительно. Как мы уже убедились, в таких играх свойство, в соответствии с которым равновесная комбинация стратегий каждого игрока становится причиной безразличия соперника в отношении выбора между чистыми стратегиями, — логическое свойство самого равновесия. В отличие от игр с нулевой суммой, у каждого участника игры с ненулевой суммой зачастую нет положительных или целевых причин добиваться безразличия других игроков. В таком случае игрокам труднее понять и освоить логику рассуждений, лежащую в основе вычисления вероятностей применения чистых стратегий в смешанной стратегии, что проявляется в их поведении.

В группе участников эксперимента, играющих в игру с ненулевой суммой, можно увидеть, как одни игроки придерживаются одной чистой стратегии, тогда как другие — другой. Этот тип смешивания в группе не согласуется с теорией равновесий в смешанных стратегиях, хотя у такого смешивания есть интересная эволюционная интерпретация, которую мы проанализируем в главе 12.

Как мы говорили выше в разделе 5.Б, вероятности применения чистых стратегий в смешанной стратегии каждого игрока не должны меняться при изменении его выигрышей. Однако на самом деле именно это и происходит: как правило, игроки выбирают то или иное действие чаще, если их собственный выигрыш от этого увеличивается [110]. Игроки действительно меняют свои действия в ходе повторных раундов игры с разными партнерами, но не в соответствии с равновесными прогнозами.

Общий вывод таков: в играх с ненулевой суммой следует интерпретировать и применять равновесия в смешанных стратегиях как минимум с большой осторожностью.

Игры с нулевой суммой, в которых один игрок предпочитает совмещение действий, а другой наоборот, зачастую не имеют равновесия Нэша в чистых стратегиях. В таких играх каждый игрок стремится действовать непредсказуемо и поэтому использует смешанную стратегию с определенным распределением вероятностей на своем множестве чистых стратегий. Вероятности применения чистых стратегий в смешанной стратегии каждого игрока вычисляются с помощью свойства безразличия соперника , которое гласит, что в игре против равновесной смешанной стратегии данного игрока соперник должен получать равные ожидаемые выигрыши от всех своих чистых стратегий. Графики кривых наилучших ответов можно использовать для отображения всех равновесий в смешанных стратегиях (а также в чистых стратегиях) той или иной игры.

В играх с ненулевой суммой также могут присутствовать равновесия в смешанных стратегиях, которые можно рассчитать на основании свойства безразличия соперника и проиллюстрировать с помощью кривых наилучших ответов. Но мотивация к поддержанию безразличия соперника в этих играх слабее или отсутствует вообще, поэтому такие равновесия менее привлекательны для игроков и обычно неустойчивы.

Смешанные стратегии — это частный случай непрерывных стратегий, но им свойственны дополнительные аспекты, заслуживающие специального изучения. Равновесия в смешанных стратегиях можно интерпретировать как исходы игры, в которых каждый игрок имеет правильные убеждения в отношении вероятностей, с которыми другой игрок выбирает среди своих базовых чистых стратегий. Кроме того, при изменении выигрышей игроков равновесия в смешанных стратегиях могут иметь ряд свойств, противоречащих здравому смыслу.

Если в распоряжении одного игрока три стратегии, а другого — только две, первый, как правило, использует в равновесной смешанной стратегии всего две чистые стратегии. Если у обоих игроков по три (или более) чистые стратегии, в равновесных комбинациях стратегий может быть указана положительная вероятность применения их всех или только их подмножества. Все стратегии, активно используемые в смешанной стратегии, обеспечивают игроку равный ожидаемый выигрыш в игре против равновесной смешанной стратегии соперника; все неиспользованные стратегии гарантируют более низкий ожидаемый выигрыш. В крупных играх такого рода бывают случаи, когда равновесная комбинация стратегий остается неопределенной.

При применении смешанных стратегий игрокам нельзя забывать, что их система рандомизации ни в коем случае не должна быть предсказуемой. Крайне важно избегать чрезмерного чередования действий. Лабораторные эксперименты обеспечивают только слабую поддержку применения смешанных стратегий. Тем не менее равновесия в смешанных стратегиях позволяют получить достоверные прогнозы во многих играх с нулевой суммой с участием опытных профессиональных спортсменов.