Авинаш Диксит - Стратегические игры

b) В данной игре есть также ряд асимметричных равновесий в смешанных стратегиях. В них каждый из m < n молодых людей пытается привлечь внимание блондинки с вероятностью Q , а остальные n — m игроков добиваются расположения брюнеток. Какое условие гарантирует безразличие m молодых людей с учетом действий остальных игроков? Какое условие должно выполняться, чтобы оставшиеся n — m игроков не отказались от применения чистой стратегии выбора брюнетки? Чему равно равновесное значение Q в случае асимметричного равновесия?

Упражнения без решений

U1.В американском футболе команда нападения может либо совершать пробежку с мячом, либо делать пас, тогда как команда защиты может ожидать (и подготовиться) либо пробежку, либо пас. Предположим, ожидаемые выигрыши обеих команд (в ярдах) за каждый отдельно взятый даун составляют:

a) Докажите, что в этой игре нет равновесия Нэша в чистых стратегиях.

b) Найдите в ней единственное равновесие Нэша в смешанных стратегиях.

c) Объясните, почему комбинация стратегий команды нападения отличается от комбинации стратегий команды защиты.

d) Сколько ярдов предположительно может набрать команда нападения в случае равновесия?

U2.Накануне крайнего срока сдачи работ профессор получает электронное письмо от одного из студентов, который утверждает, что застрял с решением одной из задач, просидев над ней больше часа. Профессор не против помочь студенту, если тот действительно работает, но отказал бы в помощи, зная, что тот просто пытается выудить подсказку. Учитывая время получения письма, профессор мог бы просто сделать вид, что прочитал его значительно позже. Очевидно, что студент предпочел бы получить помощь независимо от того, решал он задачу или нет. Но если так ее и не дождется, то предпочтет не усугублять проблему и приступит к работе, поскольку задачи необходимо сдать завтра. Предположим, участники этой игры получат следующие выигрыши:

a) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой игре.

b) Вычислите ожидаемый выигрыш каждого из игроков.

U3.В упражнении S12в главе 4описывается игра «чет или нечет», в которой нет равновесия Нэша в чистых стратегиях. Однако в ней есть равновесие в смешанных стратегиях.

a) Если Анна выберет 1 (выбросит один палец) с вероятностью p , каков ожидаемый выигрыш Брюса от выбора 1, выраженный через p ? Чему равен его ожидаемый выигрыш от выбора 2?

b) При каком уровне p Брюсу будет безразлично, какую стратегию выбрать — 1 или 2?

c) Если Брюс сыграет 1 с вероятностью q , при каком уровне q Анне будет безразлично, какую стратегию выбрать — 1 или 2?

d) Запишите равновесие в смешанных стратегиях этой игры. Чему равен в ней ожидаемый выигрыш каждого игрока?

U4.Вернемся снова к соперничеству между теннисистками Эверт и Навратиловой, о котором шла речь в разделе 2.А. Через много месяцев они опять встречаются на очередном турнире. Эверт восстановилась после травмы (см. упражнение S4), а Навратилова в это же время усердно улучшала навыки защиты против подач по линии. Ниже представлена таблица выигрышей в этой игре.

a) Найдите равновесную комбинацию каждого игрока в этой игре.

b) Что произошло с р -комбинацией Эверт по сравнению с игрой, представленной в разделе 2.А? Почему?

c) Какова ожидаемая ценность данной игры для Эверт? Почему она отличается от ожидаемой ценности первоначальной игры, рассматриваемой в разделе 2.А?

U5.В разделе 4.Аданной главы шла речь о смешивании стратегий в контексте «битвы полов» между Гарри и Салли.

a) Как думаете, что произойдет с равновесными значениями p и q , вычисленными в этой главе, если Салли решит, что Local Latte ей действительно нравится гораздо больше, чем Starbucks, поэтому теперь в ячейке Local Latte, Local Latte указаны выигрыши 1, 3? Объясните логику своих рассуждений.

b) Найдите новые равновесные значения p и q . Чем они отличаются от равновесных значений p и q в исходной игре?

c) Определите ожидаемый выигрыш каждого игрока в случае нового равновесия в смешанных стратегиях.

d) Как вы считаете, могли бы Гарри и Салли разыграть равновесие в смешанных стратегиях в новой версии игры? Обоснуйте свой ответ.

U6.Рассмотрим следующий вариант игры в труса, в котором выигрыш Джеймса от стратегии «ехать прямо» при условии, что Дин выбирает стратегию «свернуть», равен 2, а не 1.

a) Найдите равновесие в смешанных стратегиях в этой игре, в том числе ожидаемые выигрыши игроков.

b) Сравните полученные результаты с результатами в исходной игре в разделе 4.Бданной главы. Вероятность того, что Дин выберет «ехать прямо», повысилась? А как насчет вероятности того, что Джеймс «поедет прямо»?

c) Что произошло с ожидаемыми выигрышами двух игроков? Эти различия между равновесными исходами парадоксальны с точки зрения новой структуры выигрышей? Объясните, как можно трактовать ваши выводы в контексте принципа безразличия соперника.

U7.Постройте графики наилучших ответов Джеймса и Дина для игры в труса, представленной на рис. 4.13 в главе 4, на координатной плоскости с осями p и q . Обозначьте все равновесия Нэша.

U8.a) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях в следующей игре:

b) Найдите равновесие в смешанных стратегиях в этой игре. Чему равны ожидаемые выигрыши игроков в этом равновесии?

U9.Рассмотрите измененную версию игры из упражнения S9.

a) Постройте график ожидаемых выигрышей от каждой из стратегий профессора Плама как функции р -комбинации миссис Пикок.

b) Какие чистые стратегии использует профессор Плам в своей равновесной комбинации? Почему?

c) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой игре.

d) Обратите внимание, что данная версия игры незначительно отличается от игры, представленной в упражнении S9. В чем различие между этими двумя играми? Объясните, почему интуиция подсказывает вам, что равновесный исход игры изменился по сравнению с исходом игры в упражнении S9.