Авинаш Диксит - Стратегические игры

Ожидаемый выигрыш

Свойство безразличия соперника

S1.Рассмотрим следующую игру:

a) Какую игру она больше всего напоминает: розыгрыш очка в теннисе, игру в доверие или игру в труса?

b) Найдите все равновесия Нэша в этой игре.

S2.В следующей таблице представлены выраженные в денежных суммах выигрыши в игре с одновременными ходами с двумя участниками:

a) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой игре.

b) Определите ожидаемые выигрыши игроков в этом равновесии.

c) Ровена и Колин вместе получают максимальную сумму денег, когда Ровена выбирает «вниз». Тем не менее в равновесии она не всегда применяет эту стратегию. Почему? Можете ли вы придумать способы получения более согласованного исхода игры?

S3.Вспомните упражнение S7 из главы 4, где говорилось о пожилой даме, которой нужно было перейти улицу, а два игрока одновременно решали, предлагать ли ей помощь. Если вы выполнили это упражнение, значит, нашли все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Теперь найдите равновесие в смешанных стратегиях.

S4.Просмотрите описание игры в теннис в разделе 2.Аданной главы. Вспомните, что, согласно равновесию Нэша в смешанных стратегиях, найденному в этом разделе, Эверт выбирает стратегию ПЛ с вероятностью 0,7, а Навратилова с вероятностью 0,6. Предположим, что чуть позже во время матча Эверт получает травму, из-за чего ее удары по линии становятся гораздо медленнее, а значит, Навратиловой их легче отражать. Выигрыши в этой игре представлены в следующей таблице.

a) По сравнению с игрой до получения травмы (см. рис. 7.1) стратегия ПЛ кажется теперь менее привлекательной для Эверт. Как думаете, в новом равновесии в смешанных стратегиях Эверт будет выбирать ее чаще, реже или так же, как раньше? Обоснуйте свой вывод.

b) Найдите равновесную комбинацию стратегий каждой участницы игры. Какова ожидаемая ценность данной игры для Эверт?

c) Чем отличаются равновесные комбинации, найденные в пункте b, от равновесных комбинаций в исходной игре и от вашего ответа на вопрос в пункте а? Объясните, почему изменилась или не изменилась каждая комбинация.

S5.В упражнении S7 главы 6представлена упрощенная версия игры в бейсбол, а в пункте с указано, что в этой игре с одновременными ходами отсутствует равновесие Нэша в чистых стратегиях. Это объясняется тем, что у питчеров и бэттеров противоположные цели: питчеру нужно бросить мяч мимо бэттера, а бэттеру необходимо отбить этот мяч. Таблица игры выглядит так:

a) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях в этой упрощенной версии игры в бейсбол.

b) Определите ожидаемые выигрыши каждого игрока в этом равновесии.

c) Предположим, питчер попытается улучшить ожидаемый выигрыш в равновесии в смешанных стратегиях, замедлив свой фастбол таким образом, что это делает его похожим на керв. В итоге выигрыш бэттера в ячейке «ожидать фастбол — бросить фастбол» изменится с 0,30 до 0,25, а выигрыш питчера скорректируется соответственно. Может ли такое изменение улучшить ожидаемый выигрыш питчера? Тщательно обоснуйте свой ответ. Кроме того, объясните, почему замедление фастбола может (или не может) улучшить ожидаемый выигрыш питчера в этой игре.

S6.Несмотря на опасность игры в труса (см. раздел 4.Б), Джеймс и Дин решают повысить ее эмоциональный накал (и ставки), стартуя на автомобилях с большего расстояния друг от друга. Так они смогут дольше держать зрителей в напряжении и сильнее разогнаться, прежде чем дело дойдет (или не дойдет) до серьезного столкновения. В связи с этим в новой таблице игры указан более высокий штраф за столкновение.

a) Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях для этой более опасной версии игры в труса. Джеймс и Дин выбирают стратегию «ехать прямо» чаще или реже по сравнению с игрой, таблица которой представлена на рис. 7.4?

b) Определите ожидаемый выигрыш каждого игрока в случае равновесия в смешанных стратегиях, найденного в пункте a.

c) Джеймс и Дин решают разыгрывать игру в труса многократно (например, в присутствии разных групп зрителей из числа безрассудной молодежи). Более того, дабы избежать столкновения, они вступают в сговор и чередуют два равновесия в чистых стратегиях. Каким будет средний выигрыш ткаждого из них в случае такого сговора, если они сыграют четное количество игр? Он лучше или хуже выигрыша, на который они могут рассчитывать при равновесии в смешанных стратегиях? Почему?

d) После того как Джеймс и Дин несколько недель не играли в вариант игры в труса, описанный в пункте с, они договариваются сыграть снова. Однако к этому времени оба совершенно забывают, какое равновесие Нэша в чистых стратегиях разыгрывали в последний раз, и ни один из них этого не осознает, пока не взревут двигатели автомобилей перед самым началом игры. Вместо того чтобы играть в соответствии с равновесием Нэша в чистых стратегиях, каждый из них подбрасывает монету, чтобы решить, какую стратегию выбрать. Чему равен ожидаемый выигрыш Джеймса и Дина, если каждый из них смешивает стратегии в пропорции 50 на 50 таким способом? Как он соотносится с ожидаемыми выигрышами в случае равновесной комбинации стратегий? Объясните, почему эти выигрыши остаются неизменными или отличаются от выигрышей, вычисленных в пункте с.

S7.В разделе 2.Бпродемонстрировано, как построить график кривых наилучших ответов в игре с розыгрышем очка в теннисе. В разделе 4.Ботмечено, что при наличии множества равновесий их можно определить по пересечениям кривых наилучших ответов. Для игры «битва полов», представленной на рис. 4.12 в главе 4, постройте графики наилучших ответов Гарри и Салли на координатной плоскости с осями p и q . Обозначьте все равновесия Нэша.

S8.Рассмотрите следующую игру:

a) При каких значениях x в этой игре есть единственное равновесие Нэша? Найдите его.