Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта
- Название:Математические головоломки профессора Стюарта
- Автор:
- Жанр:
- Издательство:Альпина нон-фикшн
- Год:2017
- Город:Москва
- ISBN:978-5-9614-4502-2
- Рейтинг:
- Избранное:Добавить в избранное
-
Отзывы:
-
Ваша оценка:
Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта краткое содержание
Автор уделяет внимание математическим датам, загадкам простых чисел, теоремам, статистике и множеству других интересных вопросов. Эта умная, веселая книга демонстрирует красоту математики. Из книги читатель узнает о форме апельсиновой кожуры, евклидовых каракулях, блинных числах, о гипотезе квадратного колышка и других решенных и нерешенных задачах. Книга будет интересна всем, кто не равнодушен к загадкам, любит математику и решение головоломок.
Математические головоломки профессора Стюарта - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок
Интервал:
Закладка:
Номера такси

Сриниваса Рамануджан – индийский математик-самоучка с поразительным талантом к формулам, как правило очень странным формулам, обладавшим, однако, своеобразной необычной красотой. В 1914 г. математики Годфри Харолд Харди и Джон Эденсор Литтлвуд из Кембриджа привезли его в Англию. К 1919 г. у него уже были неизлечимо больные легкие, и в 1920 г. он умер в Индии. Харди писал:
«Помню, как я однажды поехал навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я приехал в такси номер 1729 и заметил вскользь, что номер этот показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не дурное предзнаменование. „Нет, – ответил он, – это очень интересный номер; это наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух [положительных] кубов двумя разными способами“».
Наблюдение о том, что
1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³,
впервые опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 г. Если разрешить отрицательные кубы, то наименьшим таким числом будет
91 = 6³ + (–5)³ = 4³ + 3³.
Специалисты по теории чисел обобщили эту концепцию, заявив, что n -й номер такси Ta ( n ) есть наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух положительных кубов n и другими способами.
В 1979 г. Харди и Э. М. Райт доказали, что некоторые числа могут быть выражены в виде суммы произвольно большого числа положительных кубов, так что Ta ( n ) существует для любых n . Однако вплоть до настоящего времени известны лишь первые шесть таких чисел:
Ta (1) = 2 = 1³ + 13;
Ta (2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³;
Ta (3) = 87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³;
Ta (4) = 6963472309248 = 2421³ + 19083³ = 54363 + 18948³ = 10200³ + 18072³ = 13322³ + 166308³;
Ta (5) = 48988659276962496 = 38787³ + 3657573 = 107839³ + 362753³ = 205292³ + 342952³ = 221424³ + 336588³ = 231518³ + 331954³;
Ta (6) = 24153319581254312065344 = 582162³ + 28906206³ = 3064173³ + 28894803³ = 8519281³ + 28657487³ = 16218068³ + 27093208³ = 17492496³ + 26590452³ = 18289922³ + 26224366³.
Ta (3) открыл Джон Лич в 1957 г. Ta (4) нашли Э. Розенстил, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенстил в 1991 г. Ta (5) обнаружил Дж. А. Дардис в 1994 г. и подтвердил Дэвид Уилсон в 1999 г. В 2003 г. К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин установили, что приведенное выше число, вероятно, является Ta (6), а в 2008 г. Уве Холлербах опубликовал доказательство.
Волна перемещения
Математические исследования верхом?
Почему бы нет? Вдохновение может осенить где угодно. Выбирать не приходится.
В 1834 г. шотландский инженер-кораблестроитель Джон Скотт Рассел, ехавший на лошади вдоль канала, обратил внимание на поразительное явление:
«Я наблюдал за движением лодки, которую стремительно тянула по узкому каналу пара лошадей, как вдруг лодка остановилась – лодка, но не та масса воды в канале, которую она увлекла и приводила в движение; эта вода собралась вокруг носа судна в состоянии неистового возбуждения, затем внезапно оторвалась от него и покатилась вперед с огромной скоростью, принимая форму большого одиночного возвышения, округлой, гладкой и четко очерченной водяной массы, которая продолжила движение вдоль канала без всякого видимого изменения формы или снижения скорости. Я последовал за ней верхом и догнал; она катилась дальше со скоростью примерно 13 или 15 км/ч, сохраняя первоначальную форму, размером около 9 м в длину и 30–45 см в высоту. Ее высота постепенно снижалась, и после преследования на протяжении 1,5–3 км я потерял ее среди извивов канала. Вот такой в августе 1834 г. была моя первая случайная встреча с этим исключительным и красивым явлением, которое я назвал волной перемещения».

Рассела заинтриговало это явление, поскольку обычно одиночные волны расходятся в стороны по мере движения или рассыпаются, как прибой на пляже. Он соорудил дома волновой бассейн и провел серию экспериментов. В ходе испытаний выяснилось, что такая волна очень устойчива и может пройти большое расстояние, не меняя формы. Волны разных размеров движутся с разными скоростями. Если одна такая волна догоняет другую, она выходит вперед после сложного взаимодействия. А большая волна на мелководье разделяется на две – среднюю и маленькую.
Эти открытия поставили физиков того времени в тупик, потому что совершенно не поддавались объяснению с позиции тогдашних взглядов на поведение жидкостей. Более того, видный астроном Джордж Эйри и ведущий специалист по динамике жидкостей Джордж Стокс долго не верили, что такая волна существует. Сегодня мы знаем, что Рассел был прав. В некоторых обстоятельствах нелинейные эффекты, неизвестные математикам того времени, компенсируют тенденцию всякой волны к расхождению, потому что скорость движения волны зависит от частоты колебаний. В этих эффектах первыми разобрались лорд Рэлей и Жозеф Буссинеск примерно в 1870 г.
В 1895 г. Дидерик Кортевег и Густав де Врис предложили уравнение Кортевега – де Вриса, в которое вошли подобные эффекты, и показали, что у него есть обособленные (солитарные) волновые решения. Аналогичные результаты были получены для других уравнений математической физики, и феномен получил новое название: солитон. Серия крупных открытий позволила Питеру Лаксу сформулировать очень общие условия, при которых уравнения имеют обособленные решения, и объяснить эффект туннелирования. Математически этот процесс сильно отличается от того, как взаимодействуют мелководные волны, к примеру, на пруду, когда их формы складываются; все это – прямое следствие математической формы волнового уравнения. Солитоноподобные явления наблюдают во многих областях науки – от ДНК до волоконной оптики. Именно этим объясняется существование широкого спектра явлений со странными названиями вроде «бризер», «кинк» и «осциллон».
Есть также весьма соблазнительная идея, которую пока никому не удалось заставить работать. Элементарные частицы в квантовой механике соединяют в себе каким-то образом две разные несовместимые на первый взгляд характеристики. Как и большинство объектов квантового уровня, они представляют собой волны, но при этом умеют соединяться в частицеподобные блоки. Физики давно пытаются отыскать уравнения, которые согласовывались бы со структурой квантовой механики, но допускали существование солитонов. Лучшее, чего им на сегодняшний день удалось достичь, – это уравнение, описывающее инстантон, который можно интерпретировать как частицу с очень коротким временем жизни, которая возникает из ниоткуда и немедленно после этого исчезает.
Загадка песков

Песчаные дюны образуют самые разные узоры: линейные, поперечные, параболические и т. п. Одна из наиболее интересных их разновидностей – бархан, или серповидная дюна. Название происходит из Туркестана; говорят, что в геологию его ввел русский натуралист Александр фон Миддендорф. Барханы можно найти в Египте, Намибии, Перу… и даже на Марсе. Они имеют серповидную форму, бывают разных размеров и, самое главное, движутся . Они собираются группами, взаимодействуют друг с другом, делятся и соединяются. В последние годы математическое моделирование помогло многое понять в их форме и поведении, но многие стороны их жизни до сих пор остаются загадкой.
Читать дальшеИнтервал:
Закладка: