Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Как вычислить?Мода — наиболее часто встречающийся элемент, самый стильный, самый популярный во всем наборе данных. Как быть, если все элементы различны? В этом случае вы можете сгруппировать данные по категориям и назвать самую частую из них «модальной категорией».

Когда использовать?Этот метод используют в социологических опросах и анализе нечисловых данных. Если вы хотите узнать любимый цвет людей, вы не сможете «сложить и поделить» их, чтобы вычислить среднее арифметическое. Или, допустим, вы проводите выборы; граждане сойдут с ума, если вы упорядочите голоса от наиболее либеральных к наиболее консервативным и присудите победу кандидату, за которого отдан медианный бюллетень.

Почему нельзя доверять?Медиана не учитывает суммарное значение. Среднее арифметическое не учитывает, как оно распределено. А мода? Ну, она игнорирует и суммарное значение, и то, как оно распределено, и почти все прочее.

Наиболее распространенное не означает показательное. Модальная зарплата в Соединенных Штатах равна нулю — не потому, что большинство американцев безработные и нищие, а потому, что зарплаты наемных работников разбросаны по всему спектру от одного доллара до $100 млн, в то время как все безработные получают одинаково — ноль. Этот статистический показатель никак не характеризует США. Так обстоят дела почти во всех странах, в этом особенность капитализма.

Метод модальной категории лишь частично устраняет проблему. Он дает ошеломляющую власть человеку, который сообщает данные: он может ловко перекроить границы категорий в соответствии со своей повесткой дня. В зависимости от того, какие интервалы я выберу, можно утверждать, что модальная американская семья зарабатывает от $10 000 до $20 000 (если взять интервалы размером 10 000), или от $20 000 до $40 000 (интервалы по $20 000), или от $38 000 до $92 000 (если идти по ступеням налоговой шкалы). Один и тот же набор данных, один и тот же метод. И все же портрет полностью преображается — все зависит от рамки, которую выбрал художник.

Как вычислить?Напоминаю, что медиана находится ровно посередине упорядоченного ряда данных. А перцентиль — это медиана с регулятором. 50-й перцентиль — это сама медиана (половина величин больше, половина меньше). Но вы можете выбрать и другие перцентили. 90-й перцентиль на самой верхотуре: всего лишь 10 % величин больше, а 90 % величин меньше. В свою очередь, 3-й перцентиль почти на дне: 3 % величин меньше, 97 % больше.

Когда использовать?Метод перцентилей удобный и гибкий, он идеально подходит для нашего любимого времяпрепровождения — выстраивания рейтингов. Вот почему стандартные тесты часто дают оценки в перцентилях. Сырые данные не слишком информативны. Например, «я ответил верно на 72 % вопросов». Но сколько среди них головоломных и сколько легких? В то же время «я на 80-м перцентиле» в точности показывает ваш результат. Вы лучше 80 % испытуемых и хуже 20 %.

Почему нельзя доверять?У перцентилей та же ахиллесова пята, что и у медианы. Вы знаете, сколько величин больше или меньше определенного значения, но не знаете насколько. Возьмем, к примеру, финансовый сектор, где перцентили используются для оценки потерь от инвестиций. Вначале вы прикидываете разброс потенциальных результатов, от триумфа до краха, а затем выбираете перцентиль (обычно 5-й) и называете его «стоимость под риском», или VaR ( Value at Risk ). Он показывает наихудший сценарий. По сути дела, хуже будет ровно 5 % вариантов развития событий. VaR ничего не говорит о том, насколько хуже. Он не учитывает, сколько вы потеряете в 5 % случаев — несколько центов или миллиарды долларов. Возможно, вы будете лучше представлять себе пространство возможностей, если узнаете другие перцентили (например, 3-й, 1-й и 0,1-й), но этот метод по определению не показывает самые крупные и болезненные убытки, поэтому худший сценарий всегда будет оставаться вне зоны видимости.

Как вычислить?Прежде чем сообщить, насколько изменилась величина, поделите эту разницу на исходное значение.

Когда использовать?Процентное изменение позволяет посмотреть на вещи в перспективе. Оно определяет прибыли и убытки как части целого. Скажем, моя прибыль составила $100. Если вначале у меня было всего $200, то этот золотой дождь обеспечил рост капитала на 50 %, и я прыгаю от счастья и виляю хвостом, как Снупи. Но, если у меня уже было $20 000, рост моего дохода составляет всего лишь 0,5 %; я ограничиваюсь тем, что вскидываю вверх кулак. Перспектива имеет решающее значение, когда вы наблюдаете рост величины с течением времени. Если бы 70 лет назад американцы услышали, что наш ВВП за год вырос на $500 млрд, они испытали бы благоговейный трепет. Если бы они узнали, что рост составил 3 %, они бы не сильно удивились.

Почему нельзя доверять?О, я всецело за взгляд в перспективе. Но процентное изменение, пытаясь обеспечить контекст, может его, наоборот, уничтожить. Когда я жил в Великобритании, вкусный томатный соус по два фунта за банку иногда продавался со скидкой — в два раза дешевле [145]. В эти дни я как будто выигрывал джекпот: 50 % экономии! Я волок домой дюжину банок — можно заправлять равиоли целый месяц. Вскоре меня пригласили на свадьбу в США. За неделю авиабилеты могли подскочить в цене на 5 %. «Ну и ладно, — сказал я, соглашаясь на повышенную цену. — Это ненамного больше».

Вы понимаете проблему: из-за инстинктов у меня оказалось на пенни ума и на фунт глупости. «Огромная» скидка сэкономила мне 12 фунтов, в то время как «незначительный» рост цен на авиабилеты стоил мне 30 фунтов. Деньги есть деньги, будь то счет в овощной лавке на $20 или ипотека в $200 000. Большие процентные скидки на дешевые товары — ерунда на фоне нескольких процентов подорожания дорогих вещей.

Как вычислить?Диапазон — это разница между наибольшей и наименьшей величиной.