Бен Орлин - Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Почему нельзя доверять?Коэффициент корреляции — одна из самых агрессивных статистических величин. Она перемалывает сотни или тысячи пар переменных в одно число от –1 до 1. Неудивительно, что некоторые вещи остаются за бортом. Проиллюстрируем этот факт математическим парадоксом, известным под названием квартет Энскомба {62} .

Переступим порог Энскомбской Академии чародейства и волшебства, где ученики неделями готовятся к экзаменам по четырем дисциплинам: зельеварение, трансфигурация, заклинания и защита от темных искусств. Мы будем учитывать две переменных: оценку ученика (от 0 до 13) на каждом экзамене и количество часов на подготовку к нему.

Глядя на обзорную статистику, вы можете подумать, что результаты по четырем экзаменам одни и те же:

И все же… ну, просто присмотримся. (Каждая точка обозначает ученика.)

Экзамен по зельеварению соответствует моему стереотипу сдачи экзаменов. Длительная подготовка, скорее всего, повысит ваши результаты, но вовсе не обязательно. Вмешивается случайный шум. Таким образом, корреляция равна 0,816.

В то же время оценки по трансфигурации лежат на почти идеальной прямой: каждый дополнительный час подготовки приносит дополнительные 0,35 балла, за исключением одного выдающегося ребенка, который снижает корреляцию от идеальной единицы до 0,816.

Экзамен по заклинаниям соответствует еще более четкой схеме: чем больше вы готовитесь, тем лучше ваша оценка, но в какой-то момент тенденция меняется. Если вы будете заниматься дольше десяти часов, с каждым часом ваша оценка будет ухудшаться (возможно, из-за сонливости). Как бы то ни было, корреляция может выявить только линейную зависимость, поэтому она не замечает эту параболу и коэффициент корреляции равен 0,816.

Наконец, перед экзаменом по защите от темных искусств все ученики занимались по 8 часов, но получили разные оценки. Зная продолжительность подготовки, вы не можете предсказать оценку. Есть одно исключение: трудоголик-одиночка потратил 19 часов на подготовку и получил высший балл. Одна-единственная точка повышает коэффициент корреляции от 0 до… 0,816.

Оценки по каждому экзамену следуют своей логике, подчиняются уникальной схеме. Но коэффициент корреляции упускает это из виду.

Опять-таки такова природа статистики. Как я люблю говорить:

Цитируйте меня на здоровье. Или, следуя традиции, придумайте афоризм о статистике самостоятельно и припишите его мне.

С момента своего возникновения бейсбол был игрой чисел. На данный момент в «Википедии» перечислены 122 разновидности бейсбольной статистики, от DICE до FIP и VORP, и я подозреваю, что это лишь верхушка айсберга. Более того: подберите наугад три буквы — готов поклясться, что кто-нибудь где-нибудь уже скрупулезно ведет статистику под таким кодовым названием.

Эта глава посвящена одной статистической модели — от скромного начала до постепенного упадка. Речь идет о рейтинге «БА» (англ. BA): бостонский акцент. Простите, блатной алкоголь. Ну ладно, хорошо: batting average (процент реализации выходов на биту).

Когда-то этот рейтинг царил безраздельно. В наши дни специалисты по статистике придерживаются мнения, что это китч и пережиток простодушных дней. Настало время пустить его в расход? Или дышащий на ладан ветеран с ноющими суставами еще даст прикурить?

В 1856 году англичанин по имени Генри Чедвик, крикетный репортер The New York Times , случайно впервые в жизни попал на матч по бейсболу [148]. Он был заворожен. «В бейсболе все сверкает!» — воскликнул он, как мог воскликнуть только фанат крикета. Он, словно ленивец, пораженный молниеносностью и блеском черепахи, посвятил свою жизнь этому американскому виду досуга. Он заседал в нормативных комитетах, написал первую книгу об этом виде спорта и был редактором первого бейсбольного ежегодника. Однако титул «отец бейсбола» Чедвик снискал за нечто более фундаментальное — статистику.

Чедвик изобрел таблицу очков для отслеживания ключевых событий игры. Просматривая колонки цифр — очки, хиты, ауты и так далее, можно было практически воочию наблюдать за тем, как проходила игра. Таблицы очков составляли не для долгосрочных прогнозов или подсчетов статистической значимости. Однако они рассказывали историю на языке цифр: в них отражались позор и слава, герои и злодеи. В таблицах кратко описывались погодные условия и подчеркивались ключевые моменты игры, чтобы помочь фанатам оказаться в гуще событий (задолго до радио, экшен-камер или mlb.com). Это был SportsCenter 1870-х годов.

Идея Чедвика с рейтингом BA перекочевала из крикета, где, впрочем, есть только две базы, а очки вы набираете каждый раз, когда перемещаетесь от одной базы к другой. Игроки в крикет продолжают отбивать, пока соперник не сделает им аут, и хороший игрок вполне может заработать для своей команды десятки очков. (Рекорд всех времен и народов — 400 очков [149].) Таким образом, этот процент в крикете высчитывается из очков, набранных на один аут, сделанный соперником. Великий игрок может набрать 50 %, даже 60 %.

В бейсболе подобная формула не работает. Здесь один-единственный хит может завершить ваш выход на биту. Как любой хороший математик, Чедвик начал играть с правилами, перепробовал несколько формул и пришел к той, которая используется сейчас.

Итак, процент реализации выходов на биту состоит из одного незамысловатого математического действия: количество хитов делится на общее количество выходов на биту. Чедвик сказал, что это «единственный подлинный критерий в оценке навыка игры на бите» [150].

Таким образом, в теории BA может принимать значение от 0,0 (игрок ни разу не отбил) до 100,0 (игрок отбивал каждый выход). На практике практически все игроки укладываются в промежуток от 20,0 до 35,0 %. Это не слишком большой диапазон. Короли бейсбола (бьющие 30,0 % и больше) и середняки (бьющие примерно 27,5 %) различаются всего одним лишним хитом на 40 попыток. Невооруженным глазом этого нельзя заметить. Более того, «плохой» отбивающий вполне способен затмить «хорошего» просто по прихоти фортуны.