Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Если мои инструменты хороши (и это я знал бы до наблюдения), то я не позволю моей кривой значительно уклоняться от точек, представляющих непосредственные измерения. Если же они плохи, то я мог бы отступить от этих точек несколько больше, лишь бы получить кривую, менее извилистую, в целях упорядоченности я мог бы принести и бо́льшую жертву.

Однако почему же я стараюсь провести кривую без извилин? Потому, что закон, представляемый непрерывной функцией (или функцией, у которой производные высшего порядка малы), я уже a priori рассматриваю как более вероятный сравнительно с законом, не удовлетворяющим этому условию. Без этой уверенности рассматриваемая проблема не имела бы никакого смысла; интерполяция была бы невозможна; нельзя было бы вывести закон из конечного числа наблюдений; наука не существовала бы.

Пятьдесят лет тому назад физики рассматривали более простой закон как более вероятный, чем закон сложный, при прочих равных условиях. Они ссылались на этот принцип в защиту закона Мариотта против опытов Реньо. Теперь они отказались от этой веры; и между тем как часто они бывают вынуждены поступать так, как если бы они сохранили эту веру! Как бы то ни было, именно от этого направления осталась вера в непрерывность, и мы только что видели, что если бы эта вера в свою очередь исчезла, то экспериментальная наука стала бы невозможной.

VI. Теория погрешностей. Мы пришли, таким образом, к обсуждению теории погрешностей, которая находится в непосредственной связи с проблемой вероятности причин. И здесь мы снова констатируем следствия, – а именно, известное число расходящихся между собою наблюдений – и стараемся разгадать причины, которыми вызываются, с одной стороны, истинное значение измеряемых величин, с другой – ошибки, допущенные в каждом отдельном наблюдении. Надо было бы вычислить, какова a posteriori вероятная величина каждой ошибки и затем каково вероятное значение измеряемой величины.

Но, как я уже выяснил, нельзя было бы предпринять это вычисление, если не допустить a priori, т. е. до всякого наблюдения, некоторого закона вероятности погрешностей. Существует ли какой-либо закон погрешностей?

Закон погрешностей, принятый всеми вычислителями, есть закон Гаусса, который представляется некоторой трансцендентной кривой, известной под названием «колокола».

Но прежде всего следует напомнить классическое различие между ошибками систематическими и случайными. Если мы измеряем некоторую длину слишком длинной мерой, мы всегда получим число слишком малое, и бесполезно будет повторять измерение несколько раз; это – ошибка систематическая. Если мы измеряем точным метром, мы можем тем не менее ошибиться, но мы будем ошибаться то в ту, то в другую сторону, и когда мы возьмем среднее из большого числа измерений, ошибка будет стремиться к уменьшению. Это – ошибки случайные.

С самого начала ясно, что систематические ошибки не могут удовлетворять закону Гаусса; но удовлетворяют ли ему случайные ошибки? Были многочисленные попытки доказать это; но почти все они являются грубо ошибочными умозаключениями. Тем не менее закон Гаусса можно доказать, опираясь на следующие гипотезы: общая ошибка есть результирующая очень большого числа частных и независимых ошибок; каждая из частных ошибок очень мала и, кроме того, подчиняется закону вероятности – какому угодно, при одном непременном условии: что вероятность положительной ошибки та же, что и вероятность ошибки, равной и противоположной по знаку. Очевидно, что эти условия будут выполняться часто, хотя и не всегда, и мы можем сохранить название случайных за теми ошибками, которые им удовлетворяют.

Отсюда видно, что метод наименьших квадратов является законным не во всех случаях; вообще физики доверяют ему меньше, чем астрономы. Несомненно, это зависит от того, что астрономы, кроме систематических ошибок, с которыми они встречаются наравне с физиками, принуждены еще бороться с одной крайне важной и вполне случайной причиной ошибок: я имею в виду атмосферные колебания.

Очень любопытно послушать физика, беседующего с астрономом о методе наблюдения: физик, убежденный, что одно хорошее измерение стоит многих плохих, прежде всего со всей предосторожностью заботится о том, чтобы исключить все систематические ошибки до последней; астроном возражает ему: «но таким образом вы сможете наблюдать лишь небольшое число звезд; случайные ошибки не исчезнут».

Какой вывод следует из этого? Можно ли и впредь применять метод наименьших квадратов? Мы должны рассуждать так: мы исключили все систематические ошибки, какие только могли подозревать; мы хорошо знаем, что существуют еще и другие, но мы не можем их открыть; между тем надо сделать выбор и принять какую-то окончательную величину, которая должна быть рассматриваема как вероятная; очевидно, лучшее, что мы можем сделать для этого, – это применить метод Гаусса. Таким образом, мы применим только практическое правило, относящееся к субъективной вероятности. Больше сказать нечего.

Но некоторые хотят идти дальше и утверждают не только то, что вероятная величина равна тому-то, но еще то, что вероятная ошибка, вошедшая в результат, равна тому-то. Это совершенно незаконно. Это было бы верно лишь в том случае, если бы мы были уверены, что исключены все систематические ошибки; но мы об этом совершенно ничего не знаем. Пусть мы имеем два ряда наблюдений; прилагая правило наименьших квадратов, мы находим, что вероятная ошибка, относящаяся к первому ряду, вдвое меньше, чем во втором. Однако второй ряд может быть предпочтительнее, чем первый, так как первый может быть искажен большой систематической ошибкой. Все, что мы можем сказать, – это то, что первый ряд, вероятно, предпочтительнее второго, так как его случайная ошибка меньше и так как мы не имеем никакого основания утверждать, что систематическая ошибка для одного ряда больше, чем для другого: ведь мы об этом решительно ничего не знаем.

VII. Заключения. В настоящей главе я изложил немало проблем, не разрешив ни одной из них. Тем не менее я не сожалею о том, что написал о них, так как это, может быть, побудит читателя поразмыслить над этими тонкими вопросами.

Как бы то ни было, существует несколько пунктов, по-видимому, твердо установленных. Чтобы предпринять какое-либо вычисление вероятности – даже просто для того, чтобы это вычисление имело смысл, – надо взять в качестве исходной точки некоторую гипотезу или условное положение, которые всегда содержат известную долю произвола. При выборе этого условного положения мы не можем руководствоваться ничем, кроме принципа достаточного основания. К несчастью, этот принцип очень неопределенен и растяжим и, как мы видели в нашем беглом обзоре, принимает различные формы. Форма, под которой мы встречаем его чаще всего, – это вера в непрерывность: вера, которую трудно было бы оправдать убедительным рассуждением, но без которой никакая наука не была бы возможна. Наконец, исчисление вероятностей может быть с пользой применено в тех проблемах, в которых результат не зависит от принятой вначале гипотезы, лишь бы только эта гипотеза удовлетворяла условию непрерывности.