Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Возьмем, например, главу, где электростатические притяжения объясняются давлениями и натяжениями в диэлектрической среде. Эту главу можно было бы изъять без ущерба для ясности и полноты всей остальной части книги; с другой стороны, она содержит теорию, которая существует сама по себе, и ее можно было бы понять, не прочитав ни одной строки из всего предшествующего и последующего. Но она не только лишена органической связи с остальной частью сочинения: ее даже трудно согласовать с основными идеями книги; и Максвелл не пытается достичь этого согласования, он просто говорит: «I have not been able to make the next step, namely, to account by mechanical considerations for these stresses in the dielectric» [16] Я не смог сделать следующий шаг, а именно, объяснить механическими соображениями эти напряжения в диэлектрике ( англ .). .

Этот пример достаточно поясняет мою мысль. Я мог бы привести много других: например, кто мог бы предположить, читая страницы, посвященные магнитному вращению плоскости поляризации, что оптические и магнитные явления идентичны?

Итак, не следует обольщать себя надеждой избежать всякого противоречия, с этим надо примириться. В самом деле, две противоречащие друг другу теории могут обе явиться полезными орудиями исследования, лишь бы их не перепутывали и не искали в них сущности вещей. И, быть может, изучение Максвелла было бы менее поучительным, если бы оно не открывало нам такого множества новых расходящихся друг от друга путей.

Но основная идея книги вследствие этого несколько затемнена, так что в большинстве популярных изложений она представляет собой единственный пункт, который остается совершенно в стороне.

Чтобы показать ее важность, я считаю себя обязанным изложить, в чем состоит эта основная идея. В этих целях мне придется сделать небольшое отступление.

О механическом истолковании физических явлений. Во всяком физическом явлении мы можем проследить известное число параметров, обнаруживаемых непосредственным опытом и доступных измерению. Я буду называть их параметрами q .

Наблюдение позволяет нам узнать законы изменения этих параметров. Эти законы вообще могут быть выражены в форме дифференциальных уравнений, связывающих между собой параметры q и время.

В чем состоит механическое истолкование подобного явления?

Его стараются объяснить или некоторыми движениями обыкновенной материи, или движениями одного или нескольких гипотетических флюидов. Принимается, что эти флюиды состоят из очень большого числа отдельных частиц m .

Когда же мы можем сказать, что у нас имеется полное механическое истолкование явления? С одной стороны, когда нам станут известны дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют координаты гипотетических частиц m , причем предполагается, что эти уравнения согласуются с принципами динамики; с другой стороны, когда мы будем знать соотношения, определяющие координаты частиц m в функции параметров q , доступных опыту. Повторяю, что уравнения должны согласоваться с принципами динамики, в частности с принципом сохранения энергии и с принципом наименьшего действия.

Первое из них гласит, что полная энергия остается постоянной и что она состоит из двух частей:

1) кинетической энергии или живой силы; она зависит от масс гипотетических частиц т и от их скоростей, – я обозначу ее через Т ;

2) и потенциальной энергии; она зависит исключительно от координат этих частиц – я обозначу ее через U . Сумма двух энергий Т и U остается постоянной.

Далее, чему же учит нас принцип наименьшего действия? Он учит нас тому, что для перехода из начального состояния, соответствующего моменту t 0, в конечное состояние, соответствующее моменту t 0, система должна двигаться таким путем, чтобы за промежуток времени между моментами t 0и t 1средняя величина «действия» (т. е. разности двух энергий Т и U ) была минимальной. Впрочем, первый из двух принципов является следствием второго.

Если обе функции Т и U известны, этот принцип оказывается достаточным для определения уравнений движения. В самом деле, между всеми путями, позволяющими совершить переход от одного состояния к другому, есть, очевидно, один, для которого средняя величина действия меньше, чем для всех других. Далее, существует только один такой путь, и отсюда следует, что принцип наименьшего действия достаточен для определения действительного пути, а следовательно, для определения уравнений движения. Таким приемом мы приходим к так называемым уравнениям Лагранжа. В этих уравнениях роль независимых переменных играют координаты гипотетических частиц m ; но я теперь предполагаю, что в качестве переменных приняты доступные прямому опыту параметры q .

Обе части энергии должны тогда выражаться в функции параметров q и их производных; ясно, что именно в таком виде они представляются экспериментатору: он, естественно, будет стремиться определить потенциальную и кинетическую энергию с помощью величин, которые он может непосредственно наблюдать [17] Добавим, что U будет зависеть только от q; Т будет зависеть от q и от их производных по времени и представится однородным многочленом второй степени относительно этих производных. .

Таким образом, система всегда будет переходить из одного состояния в другое таким путем, что средняя величина действия окажется наименьшей. При этом несущественно, что Т и U теперь выражены через параметры q и их производные, несущественно, что с помощью этих же параметров мы определяем начальное и конечное состояние; принцип наименьшего действия остается справедливым во всяком случае. И здесь из всех путей, могущих служить переходом от начального состояния к конечному, найдется один и только один, для которого средняя величина действия будет наименьшая. Таким образом, принцип наименьшего действия достаточен для нахождения дифференциальных уравнений, определяющих изменения параметров q . Получаемые этим приемом уравнения представляют собой другую форму уравнений Лагранжа.

Для того чтобы составить эти уравнения, нам нет надобности знать ни соотношений, которые связывают параметры q с координатами гипотетических частиц, ни масс этих частиц, ни выражения U в функции координат этих частиц. Все, что нам нужно знать, это выражение U в функции q и выражение T в функции q и их производных, т. е. выражения кинетической и потенциальной энергий в функциях экспериментальных данных.

Затем будет иметь место одно из двух: либо для надлежащим образом выбранных функций Т и U уравнения Лагранжа, составленные в соответствии е только что сказанным, окажутся тождественными с дифференциальными уравнениями, выведенными из опыта; либо же вовсе не будет таких функций Т и U , для которых такое согласие имело бы место. Ясно, что во втором случае никакое механическое истолкование невозможно.